关于Lee《光滑流形导论》中引理6.2的Fubini定理应用困惑

嗨，我当初学这本《光滑流形导论》的时候也卡过这个点，其实你离正确解法只差个思路转换——别死磕集合的不可数并，转而用Lebesgue测度的累次积分表示来套Fubini定理就顺了！

先理清楚核心逻辑：

1. 首先，$A$是$\mathbb{R}^{n$中的紧集，那它必然包含在某个闭矩形$[-M,M]}n$里（紧集在欧氏空间里一定有界），这保证了$A$是Lebesgue可测的（紧集都是Borel可测集，自然属于Lebesgue可测集族），而且测度有限，完全满足Fubini定理的适用条件。
2. 回忆Fubini定理对于Lebesgue测度的核心结论：对于$\mathbb{R}^n$中的可测集$A$，其n维Lebesgue测度可以表示为累次积分：
   $$m_n(A) = \int_{\mathbb{R}} m_{n-1}\left(A \cap \left({c} \times \mathbb{R}^{n-1}\right)\right) dc$$
   这里$m_n$是n维Lebesgue测度，$m_{n-1}$是n-1维Lebesgue测度。
3. 题目给出的条件正好是：对每个$c \in \mathbb{R}$，截面$A \cap \left({c} \times \mathbb{R}^{n-1}\right)$的n-1维测度都是0。那上面积分里的被积函数就是恒等于0的函数，积分结果自然是0，所以$m_n(A)=0$，引理得证。

顺便纠正下你之前的小误区：你一开始想把$A$写成所有截面的并，这个集合等式是对的，但Lebesgue测度只满足可数并的可加性，不可数并的测度没法直接这么拆分计算，所以这个方向走不通。而Fubini定理的价值就在于，它把n维测度转化成了对一维参数的积分，完美绕开了不可数并的问题，刚好契合题目的条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user8469759