连续函数积分恒等式证明求助

已知 ( f : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R} ) 是连续函数，且满足 ( \int_0^1 (2x-1)f(x)dx = 0 )，需要证明存在 ( c \in (0,1) )，使得 ( \int_0^c (x-c)(f(x)-f(c))dx = 0 )。

我已经尝试了一些推导步骤，先构造了 ( f ) 的一个原函数 ( F )，满足 ( F(0)=0 )（也就是 ( F(x)=\int_0^xf(t)dt )，且 ( F'(x)=f(x) )）。然后借助积分相关的中值定理，推导出存在 ( c, t \in [0,1] ) 使得 ( F(c) = \frac{F(1)}{2} = \frac{f(t)}{2} )，具体过程如下：

• 先对已知条件变形，得到：
  $$ 2\int_0^1 x f(x)dx = \int_0^1 f(x) dx = \frac{F(1)-F(0)}{1-0} = f(t) $$
  这里最后一步用到了拉格朗日中值定理（因为 ( F ) 可导）。

• 对 ( \int_0^1 xf(x)dx ) 做分部积分：
  $$ \int_0^1 xf(x)dx = xF(x)\big|_0^1 ; - \int_0^1 F(x)dx = F(1) -\int_0^1F(x)dx $$

• 再用积分中值定理，存在 ( c\in [0,1] ) 使得 ( \int_0^1F(x)dx = F(c) )，将其代入上面的结果，再代入第一步的等式：
  $$ 2( F(1) - F(c) ) = F(1) = f(t) $$
  整理后得到：
  $$ F(1) = 2 F(c) \Rightarrow F(c) = \frac{F(1)}{2} = \frac{f(t)}{2} $$

不过我不确定这些结论能不能用来解决原问题，有没有大佬能给点提示或者完整的思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DiaRar