测度论中无穷值函数的引入原因及0×∞=0约定的影响与相关疑问

我在学习测度论的过程中遇到了几个困惑，想和大家探讨一下：

为什么要引入无穷值函数？ #

我知道测度论里会允许函数取值为$+/- \infty$，核心原因是勒贝格积分具备出色的极限保持性质，我们需要处理函数序列的极限，而这些极限往往会趋向无穷。但我好奇的是，除了这个原因之外，还有没有其他必须引入无穷值函数的理由？

关于0×∞=0约定的困惑 #

另外，在定义简单函数的积分时，我们会约定$0 \times \infty := 0$以及$\infty \times 0 := 0$。可这么一来，集合$[-\infty, \infty]$就连乘法或加法群都算不上了——毕竟$\infty \times -\infty$、$\infty - \infty$这类表达式根本没有明确的定义。我理解这个约定确实能带来不少便利，但总觉得它暗藏风险。

对运算连续性破坏的疑问 #

我自己梳理了一下，觉得问题出在$[-\infty, \infty]$上加法和乘法的连续性上：按照这个集合的常规拓扑来看，一些关键的连续性性质失效了：

• 乘法方面：我们原本期望，若序列${x_n}$和${y_n}$分别收敛到某个（可能是无穷的）值，那么$\lim_{n \rightarrow \infty} (x_n \times y_n)$应该是良定义的，且等于$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n \times \lim_{n \rightarrow \infty} y_n$，但这显然不成立。
• 加法方面：同理，我们希望$\lim_{n \rightarrow \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} x_n + \lim_{n \rightarrow \infty} y_n$，且极限是良定义的，但这个期望也落空了。

照理说，我们应该时刻警惕这些“反常”情况，但我接触到的很多测度论证明——尤其是勒贝格积分极限定理相关的——却并没有特意区分处理。我本来以为大部分证明会先针对$\mathbb{R}$上的函数完成推导，再单独处理$+/-\infty$这类特殊情况，但实际情况并非如此。这让我很疑惑：为什么我们不需要时刻小心翼翼地对待这个约定呢？

其他相关问题 #

除了运算的连续性之外，这个约定还会破坏$\mathbb{R}$上的哪些重要性质？有没有办法准确归类出，和$\mathbb{R}$相比，$[-\infty, \infty]$到底有哪些性质失效了？

我在论坛上搜索了很久，都没找到能让我满意的答案，所以来这里请教大家。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jkbb