《Conceptual Mathematics》第二章习题9：收缩导出幂等态射的证明疑问咨询
嗨，我看了你自学这本书时做第二章习题9的尝试啦，确实你现在的推导逻辑有点跳步，没把收缩的核心定义用透，所以会感觉没踩到题目的考察点上。咱们一步步把这个证明补完整，把逻辑链理清楚：
首先先明确几个关键定义（做题前把定义抠准很重要哦）：
- 若$r$是$f$的收缩（retraction），等价于$f$是$r$的截面（section）：假设$f: A \to B$，$r: B \to A$，那么根据定义有$r \circ f = \text{id}_A$（$\text{id}_A$是集合$A$上的恒等态射）。
- 一个态射$e: B \to B$是幂等态射（idempotent），当且仅当$e \circ e = e$。
第一部分：证明$e = f \circ r$是幂等态射
我们严格按照态射复合的规则，结合收缩的定义来推导：
$$
\begin{align*}
e \circ e &= (f \circ r) \circ (f \circ r) \
&= f \circ (r \circ f) \circ r \quad \text{（态射复合的结合律）} \
&= f \circ \text{id}_A \circ r \quad \text{（代入收缩的定义：} r \circ f = \text{id}_A\text{）} \
&= f \circ r \quad \text{（恒等态射的性质：} f \circ \text{id}_A = f\text{）} \
&= e
\end{align*}
$$
这样就完整证明了$e \circ e = e$，也就是$e$是幂等态射。你之前的推导直接跳过了结合律应用和收缩定义代入的关键步骤，所以会显得逻辑不连贯哦。
第二部分：证明若$f$是同构，则$e$是恒等态射
如果$f$是同构，那么它存在唯一的逆态射$f^{-1}: B \to A$，满足两个性质：
- $f^{-1} \circ f = \text{id}_A$
- $f \circ f^{-1} = \text{id}_B$
而因为$r$是$f$的收缩，已经有$r \circ f = \text{id}_A$，结合同构逆态射的唯一性，我们可以得出$r = f^{-1}$。
代入$e = f \circ r$就有：
$$
e = f \circ r = f \circ f^{-1} = \text{id}_B
$$
这样就证明了此时$e$是集合$B$上的恒等态射。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者isaac
