C[-1,1]上的有界线性算子及其范数求解问题

嘿，我来帮你捋清楚这个算子有界性和范数计算的思路，其实步骤特别清晰～

首先咱们得明确，$\mathbf{C}[-1,1]$上默认装备的是上确界范数（也就是sup范数）：对任意$x\in\mathbf{C}[-1,1]$，$|x| = \sup_{t\in[-1,1]} |x(t)|$，这是这个空间的标准范数，咱们的分析都基于它展开。

第一步：证明$A$是有界线性算子 #

有界线性算子的核心要求是：存在常数$M>0$，使得对所有$x\in\mathbf{C}[-1,1]$，都有$|Ax| \leq M|x|$。

从算子$A$的定义出发，先计算$Ax(t)$的绝对值：
$$|Ax(t)| = \left| \frac{x(t)+x(-t)}{2} \right|$$
用三角不等式拆开：
$$|Ax(t)| \leq \frac{|x(t)| + |x(-t)|}{2}$$
因为$|x(t)| \leq |x|$（范数本身就是所有点绝对值的上确界），而$-t$也在区间$[-1,1]$内，所以$|x(-t)|$同样不会超过$|x|$。代入后就得到：
$$|Ax(t)| \leq \frac{|x| + |x|}{2} = |x|$$
接下来对$t\in[-1,1]$取上确界，就能推出$|Ax| = \sup_{t\in[-1,1]} |Ax(t)| \leq |x|$。这说明取$M=1$时，有界性的条件完全满足，所以$A$是有界线性算子。

第二步：计算$|A|$ #

算子范数的定义是$|A| = \sup\left{ \frac{|Ax|}{|x|} \mid x\in\mathbf{C}[-1,1], x\neq 0 \right}$，也等价于$\sup\left{ |Ax| \mid x\in\mathbf{C}[-1,1], |x|=1 \right}$。

刚才咱们已经得到$|Ax| \leq |x|$，所以$\frac{|Ax|}{|x|} \leq 1$，这说明$|A| \leq 1$。接下来只要找到一个非零的$x$，使得$|Ax| = |x|$，就能证明$|A| \geq 1$，从而得出$|A|=1$。

最直观的例子就是取偶函数，比如$x(t)=1$（对所有$t\in[-1,1]$），这时候$|x|=1$，而$Ax(t)=\frac{1+1}{2}=1$，所以$|Ax|=1=|x|$。再比如任意非零偶函数$x$，$Ax(t)=\frac{x(t)+x(t)}{2}=x(t)$，自然$|Ax|=|x|$，这都满足$\frac{|Ax|}{|x|}=1$，所以$|A|$的下界是1。

结合上界和下界，最终就能确定$|A|=1$啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Siki