矩阵特征多项式关系推导及相关计算的技术咨询
问题背景
给定矩阵 (A\in M_{m,n}(\mathbb C)) 和 (B\in M_{n,m}(\mathbb C))，且 (m\leq n)，需要完成以下任务：
- 计算分块矩阵乘积：
$$\begin{pmatrix}
I_m & -A \
0_{n,m} & I_n \
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
AB & O_{m,n} \
B & O_n \
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
I_m & A \
O_{n,m} & I_n \
\end{pmatrix}$$ - 推导 (AB) 和 (BA) 的特征多项式 (p_{AB}) 与 (p_{BA}) 之间的关系；
- 推导任意 (x,y \in \mathbb{C} ^n) 时，矩阵 (xy^*) 的特征多项式。
我的尝试
对于第一个问题，我计算得到的结果是：
$$\begin{pmatrix}
I_m & -A \
0_{n,m} & I_n \
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
AB & O_{m,n} \
B & O_n \
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
I_m & A \
O_{n,m} & I_n \
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
O_m & O_{m,n} \
B & BA\
\end{pmatrix}$$
对于第二个问题，我设 (M=\begin{pmatrix}
O_m & O_{m,n} \
B & BA\
\end{pmatrix})，那么它的特征多项式 (p_{M}:= \det(XI_{m+n}-M)= \det(X)p(BA)=X^mp(BA))。但我不清楚左边分块矩阵乘积的特征多项式该怎么求，希望能得到帮助。
解答与推导
1. 验证分块乘积的正确性
先确认你计算的分块乘积是完全正确的，我们可以分步拆解计算过程：
- 第一步，计算前两个矩阵的乘积：
$$\begin{pmatrix}I_m & -A\0_{n,m}&I_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}AB & O_{m,n}\B & O_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_m\cdot AB - A\cdot B & I_m\cdot O_{m,n} - A\cdot O_n\0_{n,m}\cdot AB + I_n\cdot B & 0_{n,m}\cdot O_{m,n} + I_n\cdot O_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}AB - AB & O_{m,n}\B & O_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O_m & O_{m,n}\B & O_n\end{pmatrix}$$ - 第二步，将结果与第三个矩阵相乘：
$$\begin{pmatrix}O_m & O_{m,n}\B & O_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_m & A\O_{n,m}&I_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O_m\cdot I_m + O_{m,n}\cdot O_{n,m} & O_m\cdot A + O_{m,n}\cdot I_n\B\cdot I_m + O_n\cdot O_{n,m} & B\cdot A + O_n\cdot I_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O_m & O_{m,n}\B & BA\end{pmatrix}$$
和你的结果完全一致，没问题～
2. 推导 (p_{AB}) 与 (p_{BA}) 的关系
关键在于：相似矩阵的特征多项式相同。你左边的分块矩阵乘积里，第一个矩阵和第三个矩阵是互逆的分块初等矩阵——因为分块下三角矩阵且对角线为单位阵时，它的逆矩阵就是把(-A)替换成(A)，即：
$$\begin{pmatrix}I_m & -A\0_{n,m}&I_n\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}I_m & A\O_{m,n}&I_n\end{pmatrix}$$
这意味着左边的乘积实际上是中间矩阵(\begin{pmatrix}AB & O_{m,n}\B & O_n\end{pmatrix})和矩阵(M=\begin{pmatrix}O_m & O_{m,n}\B & BA\end{pmatrix})相似！
接下来我们计算中间矩阵的特征多项式：
$$\det(XI_{m+n} - \begin{pmatrix}AB & O_{m,n}\B & O_n\end{pmatrix})=\det\begin{pmatrix}XI_m - AB & O_{m,n}\-B & XI_n\end{pmatrix}$$
对于分块上三角矩阵，行列式等于对角线分块的行列式乘积，因此：
$$\det\begin{pmatrix}XI_m - AB & O_{m,n}\-B & XI_n\end{pmatrix}=\det(XI_m - AB)\cdot\det(XI_n)=\det(XI_m - AB)\cdot X^n$$
而你已经算出(\det(XI_{m+n}-M)=X^m\det(XI_n - BA))，结合相似矩阵特征多项式相等的性质，我们可以得到等式：
$$\det(XI_m - AB)\cdot X^n = X^m\det(XI_n - BA)$$
两边约去(X^m)（多项式相等意味着零点和重数完全一致，因此可以约去公共因子），最终得到：
$$p_{BA}(X)=X^{n-m}p_{AB}(X)$$
这就是(AB)和(BA)的特征多项式之间的核心关系。
3. 推导 (xy^*) 的特征多项式
对于任意(x,y\in\mathbb{C}n)，(xy)是一个(n\times n)矩阵，我们可以直接套用上面的结论来推导：
令(m=1)，(A=x\in M_{n,1}(\mathbb{C}))，(B=y^\in M_{1,n}(\mathbb{C}))，此时(AB=xy^*)（(n\times n)矩阵），(BA=y^*x)（(1\times1)矩阵，也就是一个复数，对应向量(x)和(y)的内积(\langle y,x\rangle)）。
根据之前得到的特征多项式关系，(p_{BA}(X)=X^{n-1}p_{AB}(X))，而1阶矩阵的特征多项式就是(X - \text{矩阵元素})，即(p_{BA}(X)=X - y^*x)，代入后可得：
$$X - y^x = X{n-1}p_{xy}(X)$$
整理后得到：
$$p_{xy*}(X)=X{n-1}(X - y*x)=Xn - (y*x)X{n-1}$$
我们也可以从矩阵秩的角度验证：(xy*)的秩最多为1，因此它的特征值要么是0（重数为(n-1)），要么是(y*x)（若该值非零），对应的特征多项式正好和上面的结果一致。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者DARULE
