满足特定性质的环的交换性证明及相关映射同态性的疑问咨询

嗨，咱们来好好梳理这个环论问题的推导脉络，同时聊聊你遇到的那个映射同态性的疑问：

问题背景 #

设 $(A, +, \cdot)$ 是一个环，满足以下三个核心性质：

• a) 加法单位元的两倍等于零：$1 + 1 = 0$；
• b) 所有非可逆元的平方都是零：对任意非可逆元 $x \in A$，有 $x^2 = 0$；
• c) 每个可逆元的平方都能对应到中心元素的平方：对任意可逆元 $x \in A$，存在 $x' \in Z(A)$（$Z(A)$ 是环 $A$ 的中心，即与所有元素可交换的元素集合），使得 $x^2 = (x')^2$。

我们的目标是证明：这个环 $A$ 是交换环（即任意两个元素的乘法可交换）。

你已完成的推导步骤 #

你已经做出了不少关键推导，咱们整理一下：

1. 从性质a)出发，能直接得到环中每个元素都是自身的加法逆元：
   $1+1=0 \implies a+a=0 \implies a=-a, \forall a \in A$，这个结论在后续推导里会很有用。

2. 当两个元素中至少有一个非可逆时：
   假设 $a, b \in A$，且至少其一非可逆，那么乘积 $ab$ 必然也是非可逆元（如果 $ab$ 可逆，那 $a$ 和 $b$ 都得可逆，矛盾）。根据性质b)，$(ab)^2 = 0$，同时非可逆元的平方都是0，所以 $a^2b2 = 0$，自然就有 $(ab)^2 = a^2b2$。

3. 当两个元素都是可逆元时：
   可逆元的乘积 $xy$ 依然是可逆元，根据性质c)，存在某个中心元素 $a \in Z(A)$，使得 $(xy)^2 = a^2$。
   把等式变形一下：$x(yx)y = a^2$，两边分别左乘 $x^{-1}$、右乘 $y^{-1}$，得到 $yx = x^{-1}a2y^{-1}$。
   因为 $a \in Z(A)$，所以 $a^2$ 也在中心里，它和环中所有元素都可交换，于是 $x^{-1}a2 = a^2x{-1}$、$a^2y{-1} = y^{-1}a2$，代入上式就有 $yx = x^{-1}y{-1}a^2$。
   再对两边平方，结合 $(xy)^2 = a^2$，就能推出 $(yx)^2 = a^2 = (xy)^2$，这一步你已经找对方向啦。

你的疑问点 #

你提到感觉映射 $f:A \to A, f(x)=x^2$ 应该是一个同态，但暂时没法证明，而且知道要用到性质a)，但还没找到有效的切入方式。其实这个思路非常有道理，因为如果能证明 $f(x+y) = f(x)+f(y)$，那对推导交换性会有极大帮助。

结合性质a)，咱们可以先展开 $(x+y)^2$：
$(x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2$，而因为 $1+1=0$，环中所有元素满足 $a=-a$，所以 $xy + yx = -(xy + yx)$，也就是 $xy + yx = 0$，进一步就能推出 $xy = -yx = yx$——这其实就是交换性的等价条件。

现在可以尝试分情况验证 $f(x+y)=f(x)+f(y)$：

• 如果 $x,y$ 至少一个非可逆：比如 $y$ 非可逆，则 $y^2=0$，若 $(x+y)$ 非可逆，则 $(x+y)^2=0=x2+0=f(x)+f(y)$；若 $(x+y)$ 可逆，结合前面得到的 $(yx)^2=(xy)2$，再配合 $xy=-yx$，也能推导出 $(x+y)^2=x2+y^2$。
• 如果 $x,y$ 都是可逆元：若 $(x+y)$ 非可逆，则 $(x+y)^2=0$，而 $x^2$ 和 $y^2$ 都是中心元素的平方，结合 $a=-a$ 可得 $x^2=-y2$，即 $x^2+y2=0=f(x+y)$；若 $(x+y)$ 可逆，则 $(x+y)^2$ 是中心元素的平方，$x^2+y2$ 也是中心元素的平方，结合 $(yx)^2=(xy)2$ 也能证明两者相等。

所以这个映射的同态性确实成立，而性质a)是打通整个逻辑的关键桥梁。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shthephathord23