四面体、六面体和十二面体等周定理证明的思路咨询与优化问题求解

注：这是一个优化问题，你可以直接滑到下方查看需要优化的内容

我正在尝试证明四面体、六面体（正方体类）和十二面体的等周定理——这些多面体的每个顶点都恰好由3个面交汇而成。据我所知，这类情况是最容易证明的（而正二十面体的情况至今还没有被证明出来）。该定理的表述如下：

在所有表面积相同的[x]面体中，正[x]面体的体积最大。

我从Lindemann-Minkowski定理入手，该定理的表述如下：

设$S$是任意$n$维多面体，$S_L$是具有单位内切球且与$S$有相同表面法向量的多面体。用$V$和$A$分别表示体积和表面积，则有：
\begin{align*}\frac{A(S_L)^n}{V(S_L){n-1}} \leqslant \frac{A(S)^n}{V(S){n-1}}\end{align*}
当且仅当$S$与$S_L$位似时，等号成立。

这意味着我们可以把研究范围限制在具有半径为$r$的内切球的多面体上。对于这类多面体，有$V(S)=r\cdot\frac{1}{3}A(S)$。据此，我可以把原定理重新表述为：

在所有具有单位半径内切球的[x]面体中，正[x]面体的体积最小。

为了证明这个结论，我取一个具有单位内切球的四面体/六面体/十二面体$S$，设球心为$O$。选取$S$的一个顶点$T$，令$A,B,C$为相邻面与内切球的切点。记$C(O, ABC)$为以$O$为顶点，经过$O,A,B,C$的圆锥。再取$\delta C(O, ABC)$中位于两个面交线上的点$X,Y,Z$。

接下来我计算凸包$F_{i}=H(A, Z, T)$（其中$i$是元组$(T,A,Z)$）的体积。令$\alpha_i = |A\hat{O}Z|$，$\beta_i = |T\hat{O}Z|$，则可以得到：
\begin{align*} V(F_i) = \frac{1}{2}|AZ||TZ|=\tan(\alpha_i)\cdot1\cdot\tan(\beta_i)\cdot|ZO|=\tan(\alpha_i)\tan(\beta_i)\sec(\alpha_i)\end{align}

我的目标是最小化$\sum_i V(F_i)$，其中$i$遍历所有可能的元组（在$C(O,A,B,C)$中共有6个这样的元组）。$H(A,Z,T,O)$在$O$点的立体角由$\frac{4\pi}{(2\pi^2)}\alpha_i\beta_i$给出，因此$\sum_i\alpha_i\beta_i$是一个定值。

再令$\gamma_i = |Z\hat{A}T|$，同一面上的$\gamma_i$之和为$2\pi$。由于每个面的边数和总面数都是固定的，因此$\sum_i\gamma_i$也是一个定值。而我们有：
\begin{align*}\gamma_i = \arctan(\frac{|TZ|}{|AZ|})=\frac{\sec\alpha_i\tan\beta_i}{\tan\alpha_i}=\frac{\tan\beta_i}{\sin\alpha_i}\end{align*}

这样问题就转化为：
最小化：
\begin{align*}A(S)=\frac{1}{2}\sum_i{\tan(\alpha_i)\tan(\beta_i)\sec(\alpha_i)}\end{align*}
约束条件：
\begin{align*}\sum_i\alpha_i\beta_i = C_1\end{align*}
\begin{align*}\sum_i\arctan(\frac{\tan\beta_i}{\sin\alpha_i}) = C_2\end{align*}

我的问题是：我接下来该怎么推进？而且这种处理问题的方式到底对不对？

补充说明：我知道$\tan x$是凸函数，即对于$t\in (0,1)$，有$\tan(tx + (1-t)y) \leqslant t\tan(x) + (1-t)\tan(y)$，当且仅当$x=y$时等号成立。在多边形的情况中，用这个性质很容易解决问题，但我就是找不到把它应用到这里的方法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mar