由ζ(2)-1<1推导素数无穷性的证明是否已被学界所知？

嘿，我想和大家聊聊一个我偶然琢磨出来的素数无穷性初等证明，同时也想问问有没有人在文献或者线上资料里见过这个思路——我自己查了一圈没找到相关记载，所以有点好奇它是不是已经被学界注意到了。

这个证明的核心思路是从无平方因子正整数的数量入手，用反证法推导：

• 首先假设素数只有有限个，那所有无平方因子数（也就是素因子都不重复的正整数）的数量也必然是有限的——毕竟每个无平方因子数都是有限个素数的组合乘积，组合数肯定有限。
• 接下来我们通过密度分析来推翻这个结论：先看非无平方因子数的集合，这类数都能被某个素数p的平方p²整除，所以它们的密度上限可以用所有素数平方的倒数和来界定，也就是 1/4 + 1/9 + 1/25 + ...。
• 这个和其实可以用黎曼ζ函数来约束：它小于ζ(2)-1，这里ζ(2)是黎曼ζ函数在2处的值，也就是所有正整数平方的倒数和（等于π²/6≈1.6449）。就算不用ζ函数的精确值，我们也能用微积分的基础技巧来估算：把ζ(2)-1和积分∫₂^∞ 1/(x-1)² dx比较，这个积分结果是1，所以显然ζ(2)-1 < 1。
• 既然非无平方因子数的密度小于1，那无平方因子数的密度就是正数——这意味着它们在正整数里占了一个正比例，那数量必然是无穷多的。这就和我们最开始“素数有限则无平方因子数有限”的假设矛盾了，所以素数一定是无穷多的。

说起来这个证明的灵感还挺有意思：有个学生曾经跟我说“素数无穷是显然的，因为无穷多正整数都能分解成素数乘积”，但他完全忽略了素因子可以重复的情况——这当然是个大错误，但这个错误反而给了我启发：既然无平方因子数并不是稀有到可以忽略的程度，那是不是可以从这个方向出发，把学生的错误思路修正成一个严谨的证明？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Luisinho