关于代数对象直积/直和的自同态环关系的技术问询
我最近在学习自同态环相关内容，受到一篇维基百科文章的启发，有几个问题想请教：
假设$R$是有单位元的环，$M,N$是$R$-模，它们的直和（有限情况下也是直积）$P=M \oplus N$同样是$R$-模。记自同态环：
$$E_1:=\text{End}_R(M),~ E_2:=\text{End}_R(N),~E_3:=\text{End}_R(P)$$
我的问题是：
- $E_1,E_2,E_3$之间是什么关系？是不是$E_3=E_1 \oplus E_2$？
- 对于其他代数对象比如两个环$R,S$，是不是$\text{End}(R \times S)=\text{End}(R) \times \text{End}(S)$？
- 另外，在有限指标集$I$的阿贝尔范畴$\mathcal{C}$中，直和$\oplus A_i$配备了投影同态$\pi_j: \oplus A_i \to A_j$和余投影同态$\alpha_j:A_j \to \oplus A_i$，这些结构能不能用来解答上面的两个问题？
问题1：模的自同态环关系
直接给结论：$E_3$并不等于$E_1 \oplus E_2$，而是同构于一个$2 \times 2$的分块矩阵环，具体同构式如下：
$$\text{End}_R(M \oplus N) \cong \begin{pmatrix} \text{End}_R(M) & \text{Hom}_R(N,M) \ \text{Hom}_R(M,N) & \text{End}_R(N) \end{pmatrix}$$
咱们可以用你提到的投影和余投影来理解这个结构：任何自同态$f \in \text{End}_R(P)$都能被分解成四个“分量映射”：
- $f_{11} = \pi_M \circ f \circ \alpha_M$：从$M$到$M$的同态，属于$E_1$
- $f_{12} = \pi_M \circ f \circ \alpha_N$：从$N$到$M$的同态，属于$\text{Hom}_R(N,M)$
- $f_{21} = \pi_N \circ f \circ \alpha_M$：从$M$到$N$的同态，属于$\text{Hom}_R(M,N)$
- $f_{22} = \pi_N \circ f \circ \alpha_N$：从$N$到$N$的同态，属于$E_2$
把这四个映射组合成分块矩阵后，自同态的复合运算刚好对应分块矩阵的乘法，所以这个同构是成立的。只有当$\text{Hom}_R(M,N)=0$且$\text{Hom}_R(N,M)=0$时，$E_3$才会退化成$E_1 \oplus E_2$——比如当$M$和$N$是互不同构的单模时，就会出现这种特殊情况。
问题2：环的自同态环关系
和模的情况类似，$\text{End}(R \times S)$也不等于$\text{End}(R) \times \text{End}(S)$，而且因为环同态还要额外满足保持乘法和单位元的条件，情况会更复杂一点。
举个直观的例子：取$R=S=\mathbb{Z}$，$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$的自同态环里，除了只作用第一个分量或第二个分量的同态（比如$(a,b) \mapsto (2a,b)$），还存在像$(a,b) \mapsto (a+b, a+b)$这样的“交叉”同态——它既不属于$\text{End}(\mathbb{Z})$，也没法拆成$\text{End}(\mathbb{Z}) \times \text{End}(\mathbb{Z})$里的元素，这就说明直积的自同态环不等于各自自同态环的直积。
更一般地，环$R \times S$的自同态环同样可以用分块矩阵描述，但交叉项需要满足双模同态的条件（因为要兼容环的乘法结构）。只要存在非零的交叉同态，直积的自同态环就不会是各自自同态环的直积。
问题3：阿贝尔范畴中投影/余投影的作用
当然有用！刚才模的情况的推导，核心就是依赖有限直和的投影$\pi_j$和余投影$\alpha_j$的两个关键性质：
- 对每个$i$，$\alpha_i \circ \pi_i = \text{id}_{A_i}$（余投影和投影的复合是恒等映射）
- $\sum_{i} \pi_i \circ \alpha_i = \text{id}_{\oplus A_i}$（所有投影-余投影复合的和是直和上的恒等映射）
利用这些性质，任何自同态$f: \oplus A_i \to \oplus A_i$都可以写成$\sum_{i,j} \alpha_i \circ (\pi_i \circ f \circ \alpha_j) \circ \pi_j$——这其实就是把$f$拆解成了各个分量之间的同态的组合，对应到分块矩阵的形式。这套思路不仅适用于模，也能推广到环（环可以看作自身上的模，同时附加乘法结构），所以阿贝尔范畴里的这些结构正是解答这类问题的核心工具。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者MAS
