关于多项式环中齐次理想的正则序列与阿廷理想等价性的证明问询

嘿，这个问题在交换代数里是个挺关键的等价刻画，我来给你拆解清楚两边的逻辑～

首先先明确几个基础前提：我们的多项式环$R=k[x_1,x_2,...,x_n]$是Noetherian环（Hilbert基定理保证），齐次理想$I$的所有生成元都是齐次多项式；另外，$I$是阿廷理想等价于商环$R/I$是阿廷环，而Noetherian环是阿廷环当且仅当它的Krull维数为0。

第一部分：如果$I$包含长度为$n$的正则序列，那么$I$是阿廷理想 #

假设$a_1,a_2,...,a_n \in I$是一个正则序列。对于多项式环$R$，它的Krull维数是$n$（等于变量个数）。而对于Noetherian环，正则序列的长度不会超过环的维数，当正则序列长度等于环的维数时，商环$R/(a_1,...,a_n)$的维数会变成$\dim R - n = n - n = 0$。

因为$I$包含$(a_1,...,a_n)$这个理想，所以$R/I$是$R/(a_1,...,a_n)$的商环，它的维数自然不会超过0，也就是$\dim R/I = 0$。结合$R$是Noetherian环，$R/I$作为Noetherian且维数为0的环，必然是阿廷环，所以$I$是阿廷理想。

第二部分：如果$I$是阿廷理想，那么$I$包含长度为$n$的正则序列 #

既然$I$是阿廷理想，那$R/I$是阿廷环，所以它的维数是0，这说明$I$的根理想$\sqrt{I}$是$R$的极大理想。而$R$里唯一的齐次极大理想就是$\mathfrak{m}=(x_1,x_2,...,x_n)$（所有一次齐次多项式生成的理想），所以$\sqrt{I}=\mathfrak{m}$。

根据Nakayama引理，存在某个正整数$t>0$，使得$\mathfrak{m}^t \subseteq I$（极大理想的幂次会落到根理想对应的理想里）。现在我们看$\mathfrak{m}^{t$里的元素$x_1}t, x_2^t,...,x_nt$，来验证这是一个长度为$n$的正则序列：

• $x_1^t$不是$R$的零因子：因为$R$是整环，任何非零元素都不是零因子；
• $x_2^{t$不是$R/(x_1}t)$的零因子：假设$x_2^t \cdot f \equiv 0 \pmod{x_1^{t}$，也就是$x_2}t f = x_1^t g$。由于$x_1$和$x_2$是互质的变量，$x_1^t$必须整除$f$，所以$f \equiv 0 \pmod{x_1^{t}$，这就说明$x_2}t$不是商环里的零因子；
• 以此类推，$x_i^{t$都不是$R/(x_1}t,...,x_{i-1}^t)$的零因子，因为每个$x_i$和前面的$x_1,...,x_{i-1}$都互质，幂次的情况完全同理。

而$x_1^t,...,x_nt$都在$\mathfrak{m}^t$里，自然也属于$I$，所以$I$里确实包含这样一个长度为$n$的正则序列。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mithe Divine