关于函数组{sin²x, cos²x, 1}线性相关性的疑问

首先得先理清函数组线性相关/无关的核心定义——函数组线性相关，当且仅当存在一组不全为0的常数α, β, γ，使得对所有实数x，线性组合α + βsin²x + γcos²x ≡ 0（注意是恒等于0，对所有x都成立）；反过来，线性无关就是只有当α=β=γ=0时，这个恒等式才成立。

你提到的变形(β - γ)sin²(x) + α + γ=0是对的，但你想用特定的x值来“证明”线性相关，这里犯了一个关键错误：你选的x=arcsin√[(-α-γ)/(β-γ)]只是让这个等式在单个x点成立，可线性相关性要求的是等式对所有x∈R都成立啊！

举个例子：假设你随便取一组非零系数，比如α=1，β=1，γ=0，那组合是1 + sin²x，这个式子只有当sin²x=-1时才为0，但sin²x不可能是负数，所以这个组合对任何x都不等于0；再比如你取α=1，β=1，γ=-1，组合是1 + sin²x - cos²x = 1 - cos2x，它在x=0时等于0，但在x=π/2时等于2≠0，这显然不满足“对所有x都为0”的要求。

而这个函数组实际上是线性相关的，因为我们能找到一组非零系数满足恒等式：比如取α=-1，β=1，γ=1，此时组合是-1 + sin²x + cos²x = -1 + (sin²x + cos²x) = -1 + 1 ≡ 0——这个等式对所有x都成立，这才是判定线性相关的正确方式。

简单来说，你混淆了“某个x使组合为0”和“所有x使组合为0”这两个概念，前者只是函数零点的问题，后者才是线性相关性的核心要求，所以你选的那个特定x不能用来证明函数组线性相关。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者piero