关于度量空间中既开又闭子集的证明方法正确性的问询

嘿，我来帮你确认这些证明思路的正确性~

先明确我们的研究对象：度量空间 $(X,d)$，其中 $X=(1,5]$，距离函数 $d(x,y)=|x-y|$，我们要验证子集 $A=(1,5]$（也就是整个空间 $X$）是否既开又闭，你的几种分析思路都是站得住脚的，具体拆解如下：

1. 证明 $A$ 是开集 #

你的逻辑完全正确：

• 针对点5这个看似“特殊”的端点，它的ε邻域 $B_ε(5)={y\in X\mid |5-y|<ε}$，由于 $X$ 中的元素最大就是5，这个邻域里的所有点都满足 $5-ε<y≤5$，全部包含在 $A$ 中；
• 对于 $A$ 内的其他点 $x\in(1,5)$，只要取 $ε=\min{x-1,5-x}$，对应的ε邻域也会完全落在 $A$ 里。
  完全符合开集的定义，所以 $A$ 是开集。

2. 证明 $A$ 是闭集 #

这个推导也没问题：

• $A$ 的补集 $A^c=X\setminus A=\emptyset$，空集在拓扑空间（包括度量空间）里是既开又闭的（这是一个默认的结论，属于空真命题的范畴）；
• 根据闭集的定义：若一个集合的补集是开集，则该集合是闭集。既然 $A^c$ 是开集，那么 $A$ 必然是闭集。

3. 从边界角度验证 #

你的结论正确，表述可以更规范一点：

• 边界点的定义是：某个点的任意邻域，既与集合 $A$ 相交，又与 $A$ 的补集 $A^c$ 相交；
• 由于 $A^c=\emptyset$，不存在任何点的邻域能和空集相交，因此不存在这样的边界点，即 $\partial A=\emptyset$；
• 拓扑里有个结论：一个集合既开又闭当且仅当它的边界为空集，这也能反过来佐证你的结论。

总的来说，你的这三种证明思路都是完全正确的！从开集定义、补集性质、边界特征三个不同角度验证了 $A$ 既开又闭，逻辑清晰且严谨~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CormJack