关于概率质量函数（PMF）运算的简化计算方法问询

嘿，很高兴看到你已经通过暴力枚举算出了这些结果！其实我们可以利用随机变量的独立性和分布性质，把这些计算大幅简化，不用再枚举所有组合。让我一步步给你拆解：

首先，先定义一个新的随机变量：$B_k = A_{2k-1}A_{2k}$（也就是每对$A_i$的乘积）。因为每个$A_i$独立且取1、-1的概率各为1/2，那$B_k$的分布是什么呢？

• 当$A_{2k-1}$和$A_{2k}$同为1或同为-1时，$B_k=1$，概率是$(1/21/2)+(1/21/2)=1/2$
• 当两者符号相反时，$B_k=-1$，概率也是1/2

而且所有$B_k$之间是独立的，因为原始的$A_i$都是独立的。这样你的问题就转化为计算独立的Rademacher变量（取值±1各半）之和的绝对值的期望，一下子就简单多了！

逐个推导你的例子： #

1. 计算$\mathbb{E}[|B_1|]$
   $B_1$要么是1要么是-1，绝对值都是1，所以期望直接就是1，和你算的完全一致，这一步根本不用枚举。

2. 计算$\mathbb{E}[|B_1 + B_2|]$
   我们只需要考虑$B_1$和$B_2$的4种组合：

   • 两者都为1：和为2，绝对值2，概率$1/2*1/2=1/4$
   • 一正一负：和为0，绝对值0，概率$2*(1/2*1/2)=1/2$
   • 两者都为-1：和为-2，绝对值2，概率$1/4$
     期望就是$2*(1/4) + 0*(1/2) + 2*(1/4) = 1$，和你的结果一致，不用枚举16种组合啦。

3. 计算$\mathbb{E}[|B_1 + B_2 + B_3|]$
   利用组合数来算每种和的概率：

   • 三个$B_k$全为1：和为3，绝对值3，概率$(1/2)^3=1/8$
   • 两个1、一个-1：和为1，绝对值1，组合数$\binom{3}{2}=3$，概率$3*(1/2)^3=3/8$
   • 两个-1、一个1：和为-1，绝对值1，组合数$\binom{3}{1}=3$，概率$3/8$
   • 三个全为-1：和为-3，绝对值3，概率$1/8$
     期望就是$3*(1/8) + 1*(3/8) + 1*(3/8) + 3*(1/8) = 12/8 = 3/2$，和你暴力枚举的结果一样，但只需要处理4种情况，效率高太多！

通用简化思路 #

对于n个独立的Rademacher变量之和$S = B_1+B_2+...+B_n$，计算$\mathbb{E}[|S|]$时：

• $S$的可能取值为$n-2k$，其中k是取-1的变量个数（k从0到n）
• 每个取值对应的概率是$\binom{n}{k}/2^n$
• 绝对值的期望可以写成：$\mathbb{E}[|S|] = \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}n |n-2k| \binom{n}{k}$
• 还可以利用对称性简化求和：因为$|n-2k|=|2k-n|$，所以只需要计算k从0到$\lfloor n/2 \rfloor$的部分，再乘以2（当n为偶数时，中间项k=n/2时绝对值为0，单独处理）

这样不管n多大，都不用再暴力枚举所有组合啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HVW