关于利用teomehai代换结合pqr方法证明特定根式不等式的技术问询

大家好，我最近在处理一个根式不等式问题，想试试teomehai的代换思路——毕竟这个代换处理平方根项的效果看起来很不错，所以想验证下它是否适用于这个问题。

问题背景如下：

若 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$，证明：
[a+b+c+6\ge\sqrt{a^2+8}+\sqrt{b2+8}+\sqrt{c^2+8}.]

代换与转化过程 #

我采用了teomehai的代换：

• $a=\dfrac{2-x^2}x$
• $b=\dfrac{2-y^2}y$
• $c=\dfrac{2-z^2}z$

根据条件 $abc=1$，可以推导出 $\prod\left(2-x^2\right)=xyz$；而原不等式经过代换后，等价于需要证明 $x+y+z\le3$。

引入pqr变量后的条件转化 #

为了进一步对称化处理，我引入了经典的对称和变量：

• $p=x+y+z$
• $q=xy+yz+zx$
• $r=xyz$

将代换后的条件转化为关于p、q、r的等式：
$$r^2+r+4p2+4pr-8-8q-2q^2=0.$$

尝试用Schur不等式缩小范围 #

我尝试代入三阶Schur不等式（针对正实数的形式：$r\ge\dfrac{4pq-p^3}9$）到上述等式中，最终得到了如下关于p和q的多项式不等式：
\begin{align*}&16 {{p}^{2}}{{q}{2}}-162 {{q}^{2}}-8 {{p}^{4}} q+144 {{p}^{2}} q+36 p q

\[3pt]{}-{}&648 q+{{p}^{6}}-36 {{p}^{4}}-9 {{p}^{3}}+324 {{p}^{2}}-648\le0\vphantom\strut.\end{align*}

当前遇到的困惑 #

现在我卡在了这一步：这个多项式中的$p^6$项增长速度远快于其他项，虽然直觉上p应该能取到我们需要的上界3，但我不清楚该如何继续推导来证明$p\le3$。想请教社区里的各位，有没有什么思路或者技巧能帮我完成后续的证明？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1034536