关于“当rank(T)=rank(T²)时，线性变换T的值域与核的交集为{0}”的证明合理性问询
嗨，我来帮你梳理下你这个证明的问题哈～先把你的问题和证明内容列出来：
My question is related to this other question: V is a n-dimensional vector space and $T : V \rightarrow V$ is a LT s.t $rank(T) = rank(T^2)$. Prove that $range(T)\cap ker(T) = {\mathbb{0}}$. I solved it in a different way and i would like to know if my reasoning is correct.
My demonstration:
Since V is both the domain and codomain of T, T is an isomorphism. This means that T is injective and surjective at the same time. Given that T is injective we have that ker(T)={0}. Since range(T) is a vector space, it must contain the vector 0. Here we conclude that range(T) $\cap$ ker(T)={0}.
很遗憾，你的证明里有个关键逻辑错误：仅仅因为T是从V到自身的线性变换，并不能直接得出T是同构哦。同构要求线性变换既是单射又是满射，但满足$rank(T)=rank(T2)$的线性变换不一定是双射的。举个直观的例子：在二维欧氏空间$\mathbb{R}2$里，定义T为投影到x轴的变换，也就是$T(x,y)=(x,0)$，这时候$rank(T)=1$，$rank(T^2)=rank(T\circ T)=1$（因为T²还是投影到x轴），但T显然不是同构——它的核是整个y轴（$\ker(T)={(0,y)|y\in\mathbb{R}}$），并不是${0}$，而且它也不是满射（值域只有x轴，不是整个$\mathbb{R}^2$）。
给你一个严谨的推导思路参考：
- 首先利用秩-零度定理，我们知道对于线性变换T，$\dim V = \dim \text{range}(T) + \dim \ker(T)$。
- 再看$T2$的秩，$rank(T2)=\dim \text{range}(T\circ T)=\dim T(\text{range}(T))$，题目给出$rank(T)=rank(T^2)$，这说明T在$\text{range}(T)$上的限制是一个满射（因为它的值域维度等于定义域$\text{range}(T)$的维度）。
- 对于有限维向量空间上的线性变换，满射等价于单射，所以T在$\text{range}(T)$上的限制是单射，它的核就是${0}$。而这个限制的核正好就是$\text{range}(T)\cap \ker(T)$，因此我们可以得出$\text{range}(T)\cap \ker(T)={0}$。
这样推导下来逻辑就通顺啦～
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lorentz
