关于平面参数方程求解的技术咨询

嗨，我来帮你理清楚这个问题～

首先你的思路完全正确！要得到平面8x₁+14x₂+6x₃=0的参数方程x = su + tv，核心就是找到平面上两个线性无关的向量u和v，通过平面上的点来构造向量是非常可行的方法。

具体步骤可以这样做： #

• 先确定平面上的点：
  • 原点(0,0,0)必然在平面上，代入方程显然成立。
  • 找第二个点：比如令x₁=1，x₂=0，代入方程8*1 +14*0 +6x₃=0，解得x₃=-4/3，所以点(1, 0, -4/3)在平面上。
  • 找第三个点：令x₂=1，x₁=0，代入得0 +14*1 +6x₃=0，解得x₃=-7/3，所以点(0, 1, -7/3)在平面上。
• 构造线性无关的向量：
  • 向量u可以取原点到第二个点的向量：(1, 0, -4/3)，为了避免分数，也可以乘以3得到(3, 0, -4)（线性无关性不会改变）。
  • 向量v取原点到第三个点的向量：(0, 1, -7/3)，同样乘以3得到(0, 3, -7)。
• 最终参数方程就可以写成：

  x = s*(3, 0, -4) + t*(0, 3, -7)
  

  展开后就是(3s, 3t, -4s-7t)，代入原平面方程验证一下：8*3s +14*3t +6*(-4s-7t) =24s+42t-24s-42t=0，完全满足。

关于参数s和t的疑问： #

• s和t是任意实数（取值范围是整个实数域ℝ），它们的作用确实是对向量u和v进行缩放，再通过线性组合生成平面上的所有点。
• 无论s和t取什么值，组合出来的点都必然满足原平面方程；反过来，平面上的任意一点都可以表示成这样的线性组合。所以它们只是用参数的方式遍历整个平面，不会改变原方程的定义域或者平面的性质。

补充一个小技巧： #

其实不用特意找三个点，你可以利用平面的法向量来快速构造平面内的向量。原平面的法向量是(8,14,6)，简化后是(4,7,3)，只要找和这个法向量点积为0的向量，就是平面内的向量。比如：

• (7, -4, 0)：因为4*7 +7*(-4)+3*0=0，满足点积为0。
• (3, 0, -4)：因为4*3 +7*0 +3*(-4)=0，也满足条件。
  这两个向量线性无关，同样可以作为u和v来写参数方程。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SliVetle