关于局部紧度量空间中紧支集连续函数可数稠密集的逐点递增收敛性问询

假设$(E,d)$是一个带度量拓扑的局部紧度量空间，已知$(C_c(E), |\cdot|{\infty})$（赋予上确界范数的紧支集连续函数空间）存在一个特定的可数稠密集$S$。根据定义，这意味着对任意$f \in C_c(E)$，都存在序列$f_n \in S$满足$|f_n - f|{\infty} \to 0$（当$n \to \infty$时）。

我的疑问是：能不能直接推导出以下更强的结论？

对任意非负的$f \in C_c(E)$，是否存在$S$中的递增序列$f_n$，使得$f_n$在$C_c(E)$中收敛到$f$？（哪怕是逐点收敛也会是很有用的结果）也就是说，除了$f_n \to f$之外，能不能要求当$n \geq m$时$f_n \geq f_m$，使得$f_n$逐点递增到$f$？

这里有个关键的区别需要说明：如果我们只是要求存在某个满足该性质的$S$，那通过“对穷竭$E$的紧子集做限制”这种最经典的构造得到的$S$是满足这个性质的，这个构造的大致思路是可行的，而且我相信对这样构造出的$S$，上述结论成立。

但现在我的情况是，只能假设存在某个这样的$S$，而不能假设它有特定的构造形式。那对任意这样的$S$，还能得到同样的结果吗？

额外说明 #

• 我之前问过类似的问题，但那个问题还额外要求对某个测度$\mu$的$L^2(\mu)$收敛，我觉得这个问题的解答能帮我解决那个问题。
• 那个类似的问题已经有了答案：给定可数集$S$，可以把它扩充为另一个可数集$S'$——即$S$的有限子集的最大值构成的族，然后用“阶梯函数”式的证明就能得到结论。不过在这个问题里，我完全不想扩充$S$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sarvesh Ravichandran Iyer