求每月固定百分比增长率：初始值20，12个月累计达1000

已知首月数值为20，每月按固定百分比增长，12个月累计总额要达到1000，这本质是等比数列求和问题，具体解法如下：

数学模型 #

设每月增长率为r，则每月的数值构成首项a₁=20、公比q=1+r的等比数列。12项的求和公式为：

S₁₂ = a₁ * (q¹² - 1) / (q - 1)

代入已知条件S₁₂=1000、a₁=20，得到方程：

1000 = 20 * ((1+r)¹² - 1) / r

简化后：

50 = ((1+r)¹² - 1) / r

这个方程没有初等解析解，需要用数值迭代法求解。

数值解法示例 #

方法1：Excel单变量求解 #

1. 在单元格A1输入0.1（初始猜测10%的增长率）；
2. 在单元格B1输入公式：=20*((1+A1)^12 -1)/A1；
3. 调用「数据」选项卡下的「单变量求解」，设置目标单元格为B1，目标值为1000，可变单元格为A1，确认后即可得到结果。

方法2：Python代码迭代计算 #

用牛顿迭代法快速逼近精确解：

def find_growth_rate(target_sum=1000, initial=20, months=12):
    r = 0.1  # 初始猜测值
    for _ in range(100):
        q = 1 + r
        current_sum = initial * (q**months - 1) / (q - 1)
        # 计算导数用于牛顿迭代
        derivative = initial * (months * q**(months-1)*(q-1) - (q**months -1)) / (q-1)**2
        r -= (current_sum - target_sum) / derivative
        # 精度达标则停止迭代
        if abs(current_sum - target_sum) < 1e-6:
            break
    return r

rate = find_growth_rate()
print(f"每月固定增长率约为：{rate*100:.2f}%")

运行后得到结果约为18.92%，此时12个月累计总额接近1000，验证公式：

20*(1.1892^12 -1)/0.1892 ≈ 1000

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mjl