满足商为自变量差值函数的复变函数f(z)的其他形式及确定方法

嘿，这个问题问得挺有意思的！咱们先来把问题拆解清楚：你想要找到复变函数$f(z)$，使得对于任意两个复变量$z_1$、$z_2$，$\frac{f(z_1)}{f(z_2)}$只和$z_1-z_2$有关，也就是能写成$F(z_1-z_2)$的形式。除了最直观的指数函数$e^z$，确实还有其他可能的形式，不过得看你对$f(z)$的“正则性”有啥要求，咱们慢慢说。

首先，咱们先从条件本身推导一般规律。假设令$z_2=0$，那原式就变成$\frac{f(z_1)}{f(0)} = F(z_1)$，也就是说$F(w)$其实可以表示成$\frac{f(w)}{f(0)}$（这里$w=z_1-z_2$）。把这个关系代回原等式，就能得到：
$$\frac{f(z_1)}{f(z_2)} = \frac{f(z_1-z_2)}{f(0)}$$
稍微整理一下，就变成了$f(z_1) = \frac{f(z_1-z_2)f(z_2)}{f(0)}$。如果我们定义一个新函数$g(z) = \frac{f(z)}{f(0)}$（注意$f(0)$不能是0，不然原式的商就没意义了），那上面的式子就简化成了柯西函数方程的形式：
$$g(z_1 + z_2) = g(z_1)g(z_2)$$

接下来就看这个方程的解了：

• 如果要求$f(z)$是解析函数（或者至少连续、可测）：
  这是咱们最常用的场景，此时柯西函数方程在复平面上的唯一解就是指数形式：$g(z) = e^{kz}$，其中$k$是任意复常数。那对应的$f(z)$就是$f(z) = C e^{kz}$，这里$C=f(0)$是一个非零复常数。
  这时候对应的$F(w)$就是$e^{{kw}$，当$k≠1$时，它就和你提到的$e}w$不一样了。比如取$k=2$，$f(z)=C e^{{2z}$，那$\frac{f(z_1)}{f(z_2)}=e}{2(z_1-z_2)}$，完全满足只和$z_1-z_2$有关的要求。

• 如果不限制连续性或解析性：
  这时候可以利用选择公理构造出柯西方程的非指数解，但这些解都是高度病态的——它们在任何区间上都不连续，也没法用初等函数表示，几乎不会在实际的复分析问题中用到，更多是集合论里的概念。

总结一下确定$f(z)$的步骤：

1. 从原条件出发，通过令$z_2=0$把$F(w)$和$f(w)$关联起来，转化为柯西函数方程；
2. 根据你对$f(z)$的正则性要求（比如解析、连续），筛选对应的解：
   • 若要求解析/连续，解就是$f(z)=C e^{kz}$（$C≠0$，$k∈\mathbb{C}$）；
   • 若允许非正则解，存在病态解但实用性极低。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zarathustra