向量线性组合解的唯一性问题

你好呀！先梳理下你的问题：你在$\mathbb{R}^3$中把向量$w=(1,3,8)$表示成$u=(1,2,3)$和$v=(2,3,1)$的线性组合，已经算出$w=3u - v$，和书后答案一致，但你疑惑是不是应该有多个解，想确认这个解是否唯一。

先回顾下你已经完成的推导步骤：
你先写出了线性组合的等式：
$$c_1(1,2,3) + c_2(2,3,1) = (1,3,8)$$
接着转化为增广矩阵并做行变换：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \
2 & 3 & 3 \
3 & 1 & 8
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \
0 & -1 & 1 \
0 & -5 & 5
\end{bmatrix}
$$
从变换后的矩阵能看到，第三行是第二行的5倍，属于冗余约束。然后你解出$c_2=-1$，代入第一个方程得到$c_1=3$，最终得到$w=3u - v$。

那这个解为什么是唯一的呢？核心原因是向量$u$和$v$是线性无关的。我们可以简单验证这一点：假设存在不全为0的数$k_1,k_2$使得$k_1u + k_2v=0$，也就是解下面的方程组：
$$
\begin{cases}
k_1 + 2k_2 = 0 \
2k_1 + 3k_2 = 0 \
3k_1 + k_2 = 0
\end{cases}
$$
从第一个方程得$k_1=-2k_2$，代入第二个方程：$2(-2k_2)+3k_2=-k_2=0$，所以$k_2=0$，进而$k_1=0$——这说明只有全零解能让$k_1u + k_2v=0$，所以$u$和$v$线性无关。

在$\mathbb{R}^n$空间里，一组线性无关的向量张成的子空间维数等于这组向量的个数（这里是2维）。对于这个子空间里的任意向量，它表示成这组线性无关向量的线性组合的方式必然是唯一的。

再回到你的增广矩阵：方程组只有两个变量$c_1,c_2$，而有效的独立约束条件有两个（第一行和第二行），没有自由变量，所以这个线性方程组只能有唯一解，这也对应了线性组合表示的唯一性。

所以结论是：你的解$w=3u - v$是唯一的，不存在其他线性组合方式能表示$w$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bob