关于证明满足x³=x且x²y²=y²x²的半群S为交换半群的问题求助

求证：对任意$x,y \in S$满足$x^3=x$且$x2y^2=y2x^2$的半群$S$是交换半群。

我自己尝试了一些思路：从$x^{3=x$可以推出，对任意正整数$n$，当$n$为奇数时$x}n=x$，当$n$为偶数时$x^n=x2$。但卡在了第二个条件里的平方项——不管怎么变换，都没法消掉指数里的2。我也试过很多替换，比如把$x=ab$、$y=ba$代入第二个等式，但好像都没什么效果。这些尝试过程太繁琐就不一一写了，如果需要我可以补充一些细节。

另外我对半群的经验不多，之前做过很多幺半群、群、环和域的题目，但这是我接触的第一批半群相关问题。半群的定义限制很少，我完全想不出这个证明该怎么入手，每次代入不同的元素，问题反而变得更复杂了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者alien2003