有限群中两类关系的等价性证明相关疑问

我最近遇到这么一个群论证明题：

给定群$(G, \cdot)$，$H$是$G$的有限子群（即$H \leq G$，且$|H|=n \in \mathbb{N}^*$），需要证明以下两个命题是等价的（$e$是群$G$的单位元）：

命题1：$\forall x, y \in G-H, x \neq y \implies xy \neq yx$；

命题2：$(H, \cdot)$是交换群，且$|G|=2|H|$，$|Z(G)|=1$（$Z(G)$是$G$的中心）。

我先尝试了从命题2推导命题1，过程如下：

$$\begin{align*}
x \in G-H &\implies xh \in G-H, \forall h \in H.\
xh_1=xh_2 &\implies h_1=h_2, \forall h_1, h_2 \in H.\
|G-H|=|H| &\implies G-H= { xh \mid h \in H }
\end{align*}$$

接着做了如下推导：
$$\begin{align*}
(xh_1)(xh_2)=(xh_2)(xh_1) &\implies h_2^{{-1}h_1xh_2h_1}{-1}=e\ &\implies (h_2^{{-1}h_1)x(h_2}{-1}h_1)^{-1}=e.
\end{align*}$$

因为$H$是交换群，所以$(h_2^{-1}h_1){-1}=h_1^{{-1}h_2=h_2h_1}{-1}$。而对于任意$g \in G$，方程$gxg^{-1}=e$只有解$x=e$，但$x \in G-H$，这就矛盾了，所以假设的交换关系不成立，也就得到了命题1的结论。

不过我发现，在这个推导过程中，我完全没用到命题2里的$|Z(G)|=1$这个条件，而且现在我卡壳了，不知道怎么从命题1推导命题2。想问问大家，是这个题目有问题，还是我的推导哪里出错了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Morărescu Mihnea