n维空间中寻找与n个超平面等距的点或超平面的技术咨询

嘿，我来帮你捋清楚这个问题～你现在在做一个优化问题，已经把物理系统转化成了一组边界超平面，拿三维空间里的三个平面举例，目标是找到和这些超平面等距的点或者平面，但之前查到的几何中位数、Weiszfeld算法都是针对多维点集的等距点求解，没法直接用到超平面上，对吧？

我给你分两种情况拆解思路：

一、寻找与多个超平面等距的点 #

首先得明确n维空间里超平面的距离公式：
对于超平面 $a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b = 0$，点 $X=(x_1,x_2,...,x_n)$ 到它的距离是：
$$\frac{|a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}}$$

如果要找一个点和k个超平面等距，核心就是让这个点到每个超平面的距离相等，列出对应的等式就行。这里要注意绝对值的存在——每个等式都有两种符号组合（正号/负号），所以会衍生出 $2^{k-1}$ 种可能的线性方程组，解这些方程组就能得到所有潜在的等距点。

拿你说的三维空间三个平面的例子具体说：
假设三个平面的方程是 $A_i x + B_i y + C_i z + D_i = 0$（i=1,2,3），那么等距点$(x,y,z)$需要满足：
$$\frac{|A_1x+B_1y+C_1z+D_1|}{\sqrt{A_1^2+B_12+C_1^2}} = \frac{|A_2x+B_2y+C_2z+D_2|}{\sqrt{A_2^2+B_22+C_2^2}} = \frac{|A_3x+B_3y+C_3z+D_3|}{\sqrt{A_3^2+B_32+C_3^2}}$$
你可以把每个绝对值拆成两种符号情况，组合成不同的线性方程组求解，得到的解就是所有可能的等距点——比如三维里三个平面构成三棱锥的话，内心、各个旁心都是这类等距点。

二、寻找与多个超平面等距的超平面 #

这种情况要分场景讨论：

• 所有已知超平面互相平行
  这种情况最简单，比如三维里三个平行平面，等距超平面就是位于它们中间、到每个平面距离相等的那个。具体来说，先把所有超平面的方程转化为单位法向量形式：$\vec{n} \cdot \vec{X} + d_i = 0$（$\vec{n}$是共同的单位法向量），那么等距超平面的截距就是所有$d_i$的平均值，方程就是 $\vec{n} \cdot \vec{X} + \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k d_i = 0$。

• 已知超平面不都平行
  这种情况更复杂：两个不平行的超平面是相交的，它们之间的最短距离为0，所以如果你的已知超平面里有相交的，那不存在和所有超平面等距的超平面（除非距离要求是0，但那就是它们的交线/交面了）。如果确实需要尝试，可以把目标超平面的法向量和截距作为变量，用超平面间的最短距离公式列出等式，求解这个非线性方程组——不过这里会涉及到绝对值和法向量单位化的处理，需要小心分析约束条件。

最后再提一句：你之前看到的几何中位数是找到多个点距离之和最小的点，Weiszfeld算法是用来迭代求解这个最小化问题的，和你现在要的与多个超平面距离相等的约束问题完全不是一回事，所以确实不适用，回到距离公式构建方程才是正确的方向。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nisharg