关于Demazure-Gabriel著作中群表示Hom正合序列满射性的疑问

嘿，我猜你可能在这里误解了Demazure-Gabriel的证明语境！咱们先理清楚：

在命题II.3.3.7的(ii)→(iv)证明中，我们是预先假设(ii)成立的——而(ii)的条件正是“所有kG-模的短正合列都分裂”（你可以翻回书里的(ii)条款确认一下）。在这个前提之下，你提到的原短正合列 $0 \to V' \to V \to V'' \to 0$ 自然是分裂的，也就是说存在一个kG-模同态 $s:V'' \to V$，使得 $\pi \circ s = \text{id}_{V''}$（这里 $\pi$ 是 $V \to V''$ 的满射同态）。

现在看最后那个Hom映射：$\text{Hom}(V'', V) \to \text{Hom}(V'', V'')$，它把任意 $f:V'' \to V$ 映射为 $\pi \circ f$。要证明这个映射是满射，就是说对任意的 $g \in \text{Hom}(V'', V'')$，我们能找到对应的 $f \in \text{Hom}(V'', V)$ 满足 $\pi \circ f = g$。

这时候直接取 $f = s \circ g$ 就好了：$\pi \circ f = \pi \circ s \circ g = \text{id}_{V''} \circ g = g$，完美满足条件！所以作者说这个是“obvious”，就是因为在(ii)的假设下原序列分裂，这个构造太直接了。

如果你是脱离(ii)的假设，单独看任意kG-模的短正合列，那这个满射性确实不一定成立——只有当 $V''$ 是投射kG-模，或者原序列本身分裂时，这个结论才对。但在这个证明的语境里，我们已经有(ii)的条件兜底，所以完全没问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者max_121