关于判断ℙ₂(ℝ)是否属于集合{1+x,x+2x²,1-x²}张成空间的技术咨询

嘿，看起来你已经找对了思路！让我们把这个问题拆解清楚，顺便帮你理清刚才的困惑：

首先明确几个关键前提：

• $\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})$是所有实系数二次（及以下）多项式构成的向量空间，它的维数是3，标准基为${1, x, x^2}$。
• 要判断一个向量集合是否能张成整个空间，等价于对于空间中的任意向量，都能找到集合中向量的线性组合来表示它——这正是你转化为线性方程组的思路，完全正确。

你已经把线性组合展开后对应系数相等，得到了这个方程组：
$$
\begin{cases}
\alpha_1 + \alpha_3 = \beta_1 \
\alpha_1 + \alpha_2 = \beta_2 \
2\alpha_2 - \alpha_3 = \beta_3
\end{cases}
$$

现在回答你的核心疑问：你的逻辑是对的——如果这个方程组不能对任意的$\beta_1, \beta_2, \beta_3 \in \mathbb{R}$都找到实数解$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，那确实可以得出这个集合不能张成$\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})$的结论。不过这里有个小插曲：你可能在解方程组的时候出错了，这个方程组其实对任意$\beta_1, \beta_2, \beta_3$都有唯一解，我们可以一步步验证：

1. 从第一个方程解出$\alpha_1 = \beta_1 - \alpha_3$；
2. 把$\alpha_1$代入第二个方程，得到$\beta_1 - \alpha_3 + \alpha_2 = \beta_2$，整理得$\alpha_2 = \beta_2 - \beta_1 + \alpha_3$；
3. 将$\alpha_2$代入第三个方程：$2(\beta_2 - \beta_1 + \alpha_3) - \alpha_3 = \beta_3$，展开化简后得到$\alpha_3 = \beta_3 + 2\beta_1 - 2\beta_2$；
4. 再回代求出$\alpha_1 = -\beta_1 + 2\beta_2 - \beta_3$，$\alpha_2 = \beta_1 - \beta_2 + \beta_3$。

你看，不管$\beta_1, \beta_2, \beta_3$取什么实数值，我们都能算出对应的$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，这说明集合${1+x, x+2x^2, 1-x^2}$确实可以张成整个$\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})$。

另外，我们也可以用行列式快速验证：把方程组的系数矩阵写出来：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \
1 & 1 & 0 \
0 & 2 & -1
\end{pmatrix}
$$
计算它的行列式等于1（不为0），这说明系数矩阵可逆，因此方程组对任意右端项都有唯一解，也印证了我们刚才的结论。

总结一下：你的核心判断逻辑是正确的，但这个例子里的方程组其实是有解的，所以这个集合可以张成$\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者piero