坐标轴反转后最佳拟合直线参数不符合预期的原因咨询

我绘制了一组数据的散点图并叠加了最佳拟合直线。因数据特性，将y轴数据移至x轴（反转坐标轴）更符合概念逻辑。设原最佳拟合直线的截距为a1、斜率为b1，反转后重新拟合的截距为a2、斜率为b2。由于原斜率b1接近1，我预期a2近似等于-a1，且b1与1的差值和b2与1的差值符号近似相反。

最初我使用numpy.polyfit(deg=1)进行拟合（已了解该方法已过时），结果如下：

before axes inversion np.polyfit gave intercept of 0.016 and slope of 1.005
 after axes inversion np.polyfit gave intercept of 0.002 and slope of 0.75

新拟合的截距和斜率不符合预期。随后我改用stats.linregress，结果一致：

before axes inversion stats.linregress gave intercept of 0.016 and slope of 1.005
 after axes inversion stats.linregress gave intercept of 0.002 and slope of 0.75

两种算法结果一致，说明问题出在我的认知上。我推测可能的原因：1）对坐标轴反转的对称性假设错误；2）需为拟合算法添加额外参数；3）其他未知因素。请问实际原因是什么？

实际原因 #

核心问题在于混淆了“坐标轴反转后取原直线的反函数”和“交换x/y后重新做线性回归”这两个完全不同的操作。

线性回归的本质是最小化预测值与观测值的垂直距离平方和：

• 原拟合是最小化 $\sum(y_i - (a1 + b1x_i))^2$
• 交换x/y后重新拟合是最小化 $\sum(x_i - (a2 + b2y_i))^2$

这和求原直线的反函数（即 $x = (-a1/b1) + (1/b1)y$）完全不是一回事，哪怕原斜率接近1也不例外。

只有当数据点完美落在原直线上时，交换x/y后的拟合结果才会和原直线的反函数一致。但实际数据存在噪声，两种拟合的优化目标不同，结果自然会偏离预期。

比如原拟合公式为 $y = 0.016 + 1.005x$，它的反函数是 $x ≈ -0.0159 + 0.995y$，但交换x/y后的线性回归是找一条直线让x的预测值与实际x的垂直距离平方和最小，优化目标的差异直接导致了a2、b2和反函数参数的偏差。

另外，你假设的“对称性”仅在无噪声的理想数据下成立，实际数据的噪声会打破这种对称性，进一步导致拟合结果偏离预期。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sil