Lax-Friedrichs格式对一阶PDE的相容性误差表示形式问询

嘿，这个问题问得挺关键的，我来梳理下思路帮你搞清楚～

首先，先明确你给出的相容性误差表达式的来源：Lax-Friedrichs格式对PDE $u_t + a u_x =0$的局部截断误差（归一化后）leading order项确实是$C\left(\Delta t + \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}\right)$——这是因为时间离散用了一阶的前向欧拉，空间离散用了二阶的中心差分，再结合PDE本身的关系推导出来的。

现在回到你的核心问题：能不能把这个误差写成$\mathcal{O}((\Delta t)^p + (\Delta x)^q)$的形式，且让p、q尽可能大？答案是在满足CFL条件且保证相容性的前提下，能达到的最大p和q都是1，也就是误差可以表示为$\mathcal{O}(\Delta t) + \mathcal{O}(\Delta x)$，具体原因如下：

1. 结合CFL条件的标准细化策略 #

实际计算中我们通常会固定CFL数，也就是让$\Delta t = \lambda \cdot \frac{\Delta x}{|a|}$，其中$\lambda \in (0,1]$是CFL系数（满足稳定性要求）。这时候把$\Delta t$代入误差表达式：
$$
\Delta t + \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} = \lambda \cdot \frac{\Delta x}{|a|} + \frac{(\Delta x)^2}{\lambda \cdot \frac{\Delta x}{|a|}} = \left( \frac{\lambda}{|a|} + \frac{|a|}{\lambda} \right)\Delta x
$$
显然这是$\mathcal{O}(\Delta x)$，同时因为$\Delta t \sim \Delta x$，所以也等于$\mathcal{O}(\Delta t)$。这时候误差就可以写成$\mathcal{O}(\Delta t) + \mathcal{O}(\Delta x)$，p=1，q=1。

2. 为什么无法得到更高阶的p或q？ #

我们来尝试假设能得到更高阶的情况：

• 如果想让p>1（比如p=2），那就需要$\Delta t$是$\mathcal{O}(\Delta x^2)$的量级，但此时$\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}$会变成$\mathcal{O}(1)$——这一项不会随网格细化趋近于0，直接破坏了相容性（相容性要求截断误差必须趋近于0），所以这种情况不成立。
• 如果想让q>1（比如q=2），那就需要$\Delta x$是比$\Delta t^{1/2}$更高阶的小量，也就是$\Delta t = \Omega(\Delta x^2)$，但CFL条件$\Delta t \leq \frac{\Delta x}{|a|}$会限制$\Delta t$最多是$\mathcal{O}(\Delta x)$，代入后$\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}$还是$\mathcal{O}(\Delta x)$，整体误差依然是一阶，无法达到二阶的空间项阶数。

3. 关于你提到的下界$\mathcal{O}(\Delta t + \Delta x)$ #

其实这个下界就是我们能达到的最优阶，因为Lax-Friedrichs格式本身是一阶收敛的格式——哪怕空间离散是二阶的，时间离散的一阶误差和CFL条件的约束，导致整体的收敛阶被限制在一阶，对应的相容性误差自然也是一阶的。

总结一下：在符合稳定性和相容性的前提下，你能写出的最优形式就是$\mathcal{O}(\Delta t) + \mathcal{O}(\Delta x)$，p和q最大都是1，没有更高阶的可能啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jcneek