关于具有中位数的巴拿赫空间的完备刻画问询

咱们先来明确问题里的核心定义，再抛出核心疑问：

在度量空间 $X$ 中，用 $I(x,y)$ 表示两点间的度量区间，具体定义是：
$$I(x,y):={z:d(z,x)+d(z,y)=d(x,y)}$$
对于三元组 $(x,y,z)$，如果点 $w$ 满足 $w\in I(x,y)\cap I(x,z)\cap I(y,z)$，我们就称 $w$ 是这个三元组的中位数。

根据度量几何的已有结论，所有1-内射巴拿赫空间都存在中位数（证明细节见下文），现在的关键问题是：

这是不是完备的刻画？也就是说，存在中位数的巴拿赫空间是否必然是1-内射的？如果不是，能不能给出一个满足“存在中位数”但并非1-内射的巴拿赫空间例子？

补充1：「所有1-内射空间都存在中位数」的证明 #

先给大家理清楚一个关键等价性：巴拿赫空间是1-内射的，当且仅当它是内射度量空间（也常被称为紧度量空间或超凸度量空间）。所以我们只需要证明所有内射度量空间都存在中位数即可：

• 设 $X$ 是内射度量空间，任取 $x,y,z\in X$。如果Gromov乘积 $(x|y)_z$、$(x|z)_y$、$(y|z)_x$ 中有一个为0（这里 $(x|y)_z$ 表示Gromov乘积），那么对应的那个基点本身就是这个三元组的中位数。
• 如果这三个Gromov乘积都不为0，我们可以构造一个包含四个点的度量空间 ${x,y,z,a}$，其中 $d(a,x)=(y|z)_x$，同理定义 $d(a,y)=(x|z)_y$、$d(a,z)=(x|y)_z$。利用内射度量空间的性质，我们能把这个四点空间Lipschitz嵌入到 $X$ 中，而嵌入后 $a$ 在 $X$ 中的像就是我们要找的中位数。

补充2：带中位数的巴拿赫空间实例——$\ell^\infty_2$ #

为了帮大家直观理解，这里举一个具体的巴拿赫空间例子：$\ell^\infty_2$。
在这个空间里，两点 $x,y$ 之间的度量线段是一个（可能退化的）矩形，它的两条边平行于以 $x$ 和 $y$ 为顶点的对角线。基于这个性质，三个点的中位数集合就是这三个点两两之间度量线段（矩形）的交集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pelota