关于整非常数函数零点集合的示例问询

嘿，我来帮你梳理这个问题的答案，你要找的是满足两种零点条件的非恒零、非常数整函数对吧？咱们分情况拆解：

1. 零点集合大小为0（无零点） #

你想到的$f(z)=e^z$完全是个完美的例子！

• 它是整函数：指数函数在整个复平面上处处解析；
• 非常数：显然$e^z$的值会随$z$的变化而改变；
• 无零点：对任意复数值$z=x+iy$，$e^z = e^x(\cos y + i\sin y)$，它的模长是$e^x$，永远大于0，所以不可能等于0，正好满足$|Z(f)|=0$。

2. 零点集合大小为无穷大（无限个零点） #

这里得纠正一下你提到的幂级数$\sum_{k=0}^{\infty}zk$——这个几何级数的收敛半径是1，在$|z|>1$的区域不解析，所以它不是整函数哦。给你两个正确的例子：

• 例子1：$f(z)=\sin z$
  正弦函数是整函数，非常数，它的零点是所有整数倍的$\pi$，也就是$z=n\pi$（$n\in\mathbb{Z}$），这些零点有无穷多个，完全符合$|Z(f)|=\infty$的要求。
• 例子2：$f(z)=\prod_{n=1}^{{\infty}\left(1-\frac{z}2}{n^2}\right)$
  这个无穷乘积定义的函数是整函数，它的零点是$\pm1,\pm2,\pm3,...$，同样是无限个零点，也满足条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MrJOE