应用含奇点的微积分基本定理求解围道积分的疑问

嘿，你的思路完全没问题，别被奇点$z=0$干扰啦！咱们来把这个问题拆解清楚：

首先，先确认被积函数的原函数：对$F(z) = e^{z + 1/z}$求导试试，根据链式法则：
$$F'(z) = e^{z + 1/z} \cdot \left(1 - \frac{1}{z^2}\right)$$
这不正好就是你的被积函数嘛！所以$F(z)$确实是被积函数在$\mathbb{C}\setminus{0}$上的一个原函数。

接下来看复变函数里的微积分基本定理：如果函数$f(z)$在区域$D$内连续，且存在原函数$F(z)$（即$F'(z)=f(z)$在$D$内处处成立），那么对$D$内任意分段光滑的闭曲线$\gamma$，都有$\int_\gamma f(z)dz = 0$。

你的围道$S_1^+(0)$（单位圆周）完全落在$\mathbb{C}\setminus{0}$这个区域里，而且被积函数在这里有明确的原函数，哪怕这个区域是多连通的、包围了奇点$z=0$，也不影响结论——因为原函数存在的前提下，闭曲线的积分只和起点终点有关，闭曲线的起点终点重合，积分自然就是0。

可能你困惑的点是对比了像$\int_{S_1^+(0)} \frac{1}{z}dz = 2\pi i$这类积分，但那是因为$\frac{1}{z}$在$\mathbb{C}\setminus{0}$上不存在原函数，和你的例子本质不同。

总结一下：你的判断是对的，这个积分的结果就是0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mosthigh