关于分式n/(n-m)展开式的推导疑问

嘿，这个其实是无穷等比级数的经典应用，真的不算“obvious”——别担心，很多人第一次看到都会懵，我给你一步步拆解清楚：

首先我们先对左边的分式做个简单变形，把分子分母同时除以n：
$$
\frac{n}{n-m} = \frac{1}{1 - \frac{m}{n}}
$$

接下来回忆无穷等比级数的求和公式：当公比( |r| < 1 )时，无穷级数的和满足：
$$
1 + r + r^2 + r^3 + \dots = \frac{1}{1 - r}
$$

回到你的问题里，这里的公比( r = \frac{m}{n} )。因为题目里说( m,n )是正整数，而且这个无穷级数要收敛的话，必须满足( \frac{m}{n} < 1 )（也就是( n > m )），这时候把( r = \frac{m}{n} )代入上面的求和公式，就得到：
$$
1 + \frac{m}{n} + \left(\frac{m}{n}\right)^2 + \left(\frac{m}{n}\right)^3 + \dots = \frac{1}{1 - \frac{m}{n}} = \frac{n}{n-m}
$$

如果想验证这个推导的合理性，我们可以用有限级数来逼近：
设( S_k = 1 + \frac{m}{n} + \left(\frac{m}{n}\right)^2 + \dots + \left(\frac{m}{n}\right)^k )，两边乘以( \frac{m}{n} )得到( \frac{m}{n}S_k = \frac{m}{n} + \left(\frac{m}{n}\right)^2 + \dots + \left(\frac{m}{n}\right)^{k+1} )。
用( S_k )减去( \frac{m}{n}S_k )，左边是( S_k\left(1 - \frac{m}{n}\right) )，右边只剩下( 1 - \left(\frac{m}{n}\right)^{k+1} )，所以：
$$
S_k = \frac{1 - \left(\frac{m}{n}\right)^{k+1}}{1 - \frac{m}{n}}
$$
当( k \to \infty )时，因为( \frac{m}{n} < 1 )，所以( \left(\frac{m}{n}\right)^{k+1} \to 0 )，这时候( S_k )就趋近于( \frac{n}{n-m} )，和之前的结论一致。

最后要提一句：如果( n \leq m )，这个无穷级数是发散的，等式也就不成立了，所以默认这里的条件是( n > m )哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者fox