带控制变量的依概率收敛推L¹收敛的证明解析及相关推导疑问

嘿，咱们来一步步拆解这个概率收敛问题，先把原题、证明逻辑理清楚，再解决你疑惑的地方：

问题原文 #

Suppose $|X_n| \leqslant Z$ for all $n$, where $E(Z) < \infty$. Prove that if $X_n \to X$ in probability, then $X_n \to X$ in $L^1$.

证明步骤拆解 #

首先明确目标：我们要从「$X_n$被可积随机变量$Z$控制」+「$X_n$依概率收敛到$X$」，推出「$X_n$在$L^1$空间收敛到$X$」（也就是$\lim_{n\to\infty} E|X_n - X| = 0$）。

前期铺垫 #

• 因为$X_n \xrightarrow{P} X$（依概率收敛），再结合所有$|X_n| \leq Z$，可以推出$|X| \leq Z$几乎必然（a.s.）。简单说就是极限变量$X$也被同一个$Z$管住了，这是后续推导的基础。
• 令$Z_n = |X_n - X|$，根据三角不等式，$Z_n \leq |X_n| + |X| \leq Z + Z = 2Z$，所以$Z_n \leq 2Z$几乎必然成立，这个上界是关键。

核心期望拆分 #

我们把$E|Z_n|$（也就是$E|X_n - X|$）拆成两个部分来估计，这是这类收敛证明里常用的技巧：
$$
\begin{aligned}[t]
E|Z_n|
& = E\left(Z_n \cdot 1_{[Z_n \leqslant \epsilon]}\right) + E\left(Z_n \cdot 1_{[Z_n > \epsilon]}\right) \
& \leqslant \epsilon + 2E\left(Z \cdot 1_{[Z_n > \epsilon]}\right)
\end{aligned}
$$
这里的拆分逻辑很直观：

1. 第一块$E(Z_n \cdot 1_{[Z_n \leq \epsilon]})$：在事件$[Z_n \leq \epsilon]$里，$Z_n$本身就小于等于$\epsilon$，所以整个期望肯定不超过$\epsilon \times P(Z_n \leq \epsilon)$，而概率最大是1，所以这部分直接被$\epsilon$控制住。
2. 第二块$E(Z_n \cdot 1_{[Z_n > \epsilon]})$：因为我们已经知道$Z_n \leq 2Z$几乎必然，所以在这个事件里$Z_n$也不会超过$2Z$，因此这块期望就不超过$2E(Z \cdot 1_{[Z_n > \epsilon]})$。

你的疑问解答 #

你纠结的「为什么最后一项会趋于0，以及怎么和$P(Z_n > \epsilon)$联系起来」，核心是用到了依概率收敛版本的控制收敛定理，咱们掰开说：

• 首先，$X_n \xrightarrow{P} X$意味着对任意$\epsilon>0$，$\lim_{n\to\infty} P(Z_n > \epsilon) = \lim_{n\to\infty} P(|X_n - X|>\epsilon) = 0$，这个是依概率收敛的定义。
• 看随机变量$Y_n = Z \cdot 1_{[Z_n > \epsilon]}$：它满足$|Y_n| \leq Z$，而$Z$是可积的（$E(Z)<\infty$）；同时，当$n$趋向无穷时，事件$[Z_n > \epsilon]$发生的概率越来越小，所以$Y_n$非零的概率趋近于0，也就是$Y_n \xrightarrow{P} 0$。
• 根据控制收敛定理的依概率版本：如果随机序列$Y_n$被一个可积随机变量$Z$控制，且$Y_n$依概率收敛到某个随机变量$Y_0$，那么$E(Y_n)$会收敛到$E(Y_0)$。这里$Y_0=0$，所以$\lim_{n\to\infty} E(Z \cdot 1_{[Z_n > \epsilon]}) = 0$。

换句话讲，你可以这么理解：$E(Z \cdot 1_{[Z_n > \epsilon]})$其实是$Z$在小概率事件$[Z_n > \epsilon]$上的期望，因为$Z$本身可积，再乘以一个趋向0的概率（加上控制），整个项自然就趋向0了。

最后收尾：对于任意小的$\epsilon>0$，我们可以取足够大的$n$，让$2E(Z \cdot 1_{[Z_n > \epsilon]}) < \epsilon$，这样$E|Z_n| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$，而$\epsilon$是任意小的，所以$\lim_{n\to\infty} E|X_n - X| = 0$，也就证明了$X_n$在$L^1$中收敛到$X$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ricter