关于Frobenius范数投影算子在算子范数下的Lipschitz连续性的证明请求

我最近在研究一类针对正定矩阵的投影算子，先给大家明确一下相关定义：

定义 #

设 $d \in \mathbb{N}$，$A \in \mathbb{R}^{d\times d}$ 是半正定（PSD）矩阵。定义算子 $T:\mathbb{R}{+} \times \mathbb{R}^{d\times d} \to \mathbb{R}^{d\times d} $：
设 ${u_1,\dots,u_d} \subset \mathbb{R}^d$ 和 ${\lambda_1,\dots,\lambda_d}\subset \mathbb{R}$ 分别是 $A$ 的特征向量和特征值，则：
$$
T{\lambda_0}(A) = \sum_{i=1}^{d} \max{\lambda_0,\lambda_i} u_i u_i^T.
$$

不难验证，这个算子等价于：
$$
T_{\lambda_0}(A) = \arg\min_{\hat{A}\in \mathcal{S}_{+}^{d} : ~\forall x \in \mathbb{R}^d ~ x^T \hat{A} x \ge \lambda_0 |x|_2^2}|\hat{A}-A|_F.
$$
其中 $|\cdot|F$ 是Frobenius范数。换句话说，$T{\lambda_0}(A)$ 是将矩阵 $A$ 投影到最小特征值不小于 $\lambda_0$ 的半正定矩阵集合上的Frobenius范数投影。

猜想 #

对于任意 $\lambda_0>0$，以及任意半正定矩阵 $A,B \in \mathbb{R}^{d \times d}$，有：
$$
| T_{\lambda_0}(A+B) - T_{\lambda_0}(A) | \leq | B |.
$$
这里的 $|\cdot|$ 指的是算子范数（$\ell_2/\ell_2$ 范数），注意这里不再使用Frobenius范数。

我已经通过随机生成 $A$ 和 $B$ 做了数值验证，结果都符合这个猜想，但一直没能找到严格的证明。如果大家有任何思路或者提示，麻烦告诉我一下！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MMH