关于满足同构关系$Y \cong \Sigma^Y$的集合$Y$的存在性、构造及相关范畴问题咨询

嘿，很高兴能帮你拆解这个集合论和范畴论的问题！咱们从你的几个疑问逐一入手：

一、集合范畴$\text{Set}$中是否存在这样的集合$Y$？ #

答案是大部分情况下存在，具体要看$\Sigma$的基数：

• 如果$\Sigma$是空集：没有这样的$Y$。因为若$Y$为空，$\Sigma^{Y$是单元素集（仅含空函数），二者不同构；若$Y$非空，$\Sigma}Y$是空集，也和非空的$Y$不同构。
• 如果$\Sigma$是单元素集：直接取$Y$为单元素集就行，此时$\Sigma^Y$也是单元素集，自然同构。
• 如果$\Sigma$的基数$\geq2$：存在无限集合$Y$满足$Y \cong \Sigma^Y$。从基数算术的角度看，我们需要找到基数$k$使得$k = m^k$（其中$m=|\Sigma|$）。根据Knaster-Tarski定理，单调递增的基数函数必有不动点——比如取所有满足$k \leq m^{k$的基数的并集，这个并集就是符合要求的不动点。有限基数肯定不行（比如$m=2,k=3$时，$2}3=8>3$），但无限基数里存在这样的解。

二、能否在$\text{Set}$中构造为某种极限？ #

这个问题有点意思，因为$Y \cong \Sigma^{Y$本质上是函子$F(X)=\Sigma}X$的不动点，而传统的极限/余极限构造需要点技巧：

• 如果你尝试正向迭代：比如从$X_0=\emptyset$开始，$X_{n+1}=\Sigma^{X_n}$，然后取这个序列的正向极限（colimit），你会发现这个极限的基数是$\bigcup_{n} |X_n|$，比如$m=2$时，这个基数是$\beth_\omega$（贝斯数），但$2^{\beth_\omega} > \beth_\omega$，所以这个正向极限并不满足同构。
• 更合适的方式是把$Y$看作函子$F(X)=\Sigma^X$的终端余代数（terminal coalgebra）。在$\text{Set}$中，对于这类函子，终端余代数可以通过构造所有“逼近序列”的逆极限得到——简单说，就是把所有可能的从有限层逼近到$\Sigma$的函数集合“粘”起来，最终得到的对象正好满足$Y \cong \Sigma^Y$。这个构造其实和Knaster-Tarski定理的不动点构造是一致的。

三、哪些范畴中可以进行这样的构造？ #

这个问题本质是问：对于范畴$\mathcal{C}$和函子$F:\mathcal{C}\to\mathcal{C}$，什么时候存在对象$Y$使得$Y \cong F(Y)$？这里有几个常见的情况：

• 笛卡尔闭范畴：比如$\text{Set}$、$\text{Top}$（紧豪斯多夫空间子范畴）、$\text{Poset}$（完备格子范畴）等。在这些范畴里，函子$F(X)=\Sigma^X$（$\Sigma$是固定对象）通常能找到不动点。
• 有完备极限/余极限的范畴：如果函子$F$是连续的（保持逆极限）或者余连续的（保持正向极限），再加上一些额外条件（比如有初始/终端对象），就能通过迭代函子并取极限的方式构造不动点。比如在$\text{Top}$中，当$\Sigma$是紧豪斯多夫空间时，$\Sigma^X$赋予乘积拓扑，对应的终端余代数就是满足$Y \cong \Sigma^Y$的拓扑空间。
• 完备格范畴：根据Knaster-Tarski定理，任何单调函子都有不动点。比如在$\text{Poset}$中，若$\Sigma$是完备格，函子$F(X)$取从$X$到$\Sigma$的保序函数集合（赋予点序），就存在这样的不动点$Y$。

四、可以从哪里了解更多？ #

你可以参考这些经典资料：

• 范畴论方面：Mac Lane的《Categories for the Working Mathematician》里有关于函子不动点和余代数的章节；Rutten的《Coalgebra: Mathematics of States and Observations》专门讲余代数，包括不同范畴中终端余代数的构造。
• 集合论方面：Kunen的《Set Theory: An Introduction to Independence Proofs》里有基数算术和不动点定理的详细内容。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrew Stocker