关于由生成集扩张至原群的群同态唯一性证明的疑问

嘿，这个问题问到点子上了！毕竟群里元素用生成元表示的方式通常不唯一，要是不同表达式算出来的同态值不一样，那咱们定义的$\overline{f}$连个合法的映射都算不上，更别说同态了。咱们先把背景和疑问摆出来，再一步步拆解：

以下内容出自Lang的《Algebra》第10页：
设$G$是一个群，$S$是$G$的生成集，$G'$是另一个群。
设$f: S \rightarrow G'$是一个映射。如果存在一个$G$到$G'$的同态$\overline{f}$，其在$S$上的限制为$f$，那么这样的$\overline{f}$是唯一的。
由于$S$是$G$的生成集，对任意$g \in G$，存在$x_1, x_2, \ldots, x_n \in S \cup S^{-1} \cup {e}$使得$g = x_1 x_2 \cdots x_n$。
因此如果这样的$\overline{f}$存在，那么$\overline{f}(g) = \overline{f}(x_1 \cdots x_n) = \overline{f}(x_1) \cdots \overline{f}(x_n)$。
若$x_i \in S$，则$\overline{f}(x_i) = f(x_i)$；若$x_i \in S^{-1}$，则$\overline{f}(x_i) = \overline{f}((x_i^{-1}){-1}) = (\overline{f}(x_i^{-1})){-1} = f(x_i^{-1}){-1}$。
我们可以用这种方式定义$\overline{f}(g)$。

疑问：对每个$g \in G$，可能存在多种用$S \cup S^{-1} \cup {e}$中元素相乘表示$g$的方式。例如，可能有$g = x_1 \cdots x_n = y_1 \cdots y_m$，其中$x_i, y_j \in S \cup S^{-1} \cup {e}$。那我们怎么证明$\overline{f}(x_1 \cdots x_n) = \overline{f}(y_1 \cdots y_m)$呢？

核心解答：抓住「同态存在」这个前提 #

这个问题的关键很容易被忽略：原命题的前提是「已经存在这样的同态$\overline{f}$」，不是让我们从零开始构造它（要是构造的话，就得额外要求$f$满足生成元之间的所有关系，那是另一个关于同态存在性的定理）。

我们顺着这个前提往下推：

• 既然$\overline{f}$是群同态，它必须满足三个核心性质：
  • 对任意$a,b \in G$，$\overline{f}(ab) = \overline{f}(a)\overline{f}(b)$（保持乘法）；
  • $\overline{f}(e_G) = e_{G'}$（把单位元映到单位元）；
  • 对任意$a \in G$，$\overline{f}(a^{-1}) = \overline{f}(a)^{-1}$（保持逆元）。
• 现在假设$g$有两种表达式：$g = x_1x_2\cdots x_n = y_1y_2\cdots y_m$。把这两个等式两边同时右乘$(y_1y_2\cdots y_m)^{-1}$，就得到$G$里的等式：
  $$x_1x_2\cdots x_n \cdot y_m^{-1}\cdots y_2^{-1}y_1{-1} = e_G$$
• 把左边的乘积写成$z_1z_2\cdots z_{n+m}$，每个$z_k$都属于$S \cup S^{-1} \cup {e}$。对这个等式应用同态$\overline{f}$，根据同态的性质：
  $$\overline{f}(z_1z_2\cdots z_{n+m}) = \overline{f}(z_1)\overline{f}(z_2)\cdots\overline{f}(z_{n+m}) = \overline{f}(e_G) = e_{G'}$$
• 把这个式子展开并移项，就能得到：
  $$\overline{f}(x_1)\overline{f}(x_2)\cdots\overline{f}(x_n) = \overline{f}(y_1)\overline{f}(y_2)\cdots\overline{f}(y_m)$$
• 再结合$\overline{f}$在$S$上的限制是$f$（也就是$\overline{f}(s)=f(s)$对$s\in S$成立，$\overline{f}(s^{-1})=f(s){-1}$对$s\in S$成立），就能推出两种表达式对应的$\overline{f}(g)$是完全相等的。

说白了，同态的本质就是「保持群里的所有等式关系」——既然两种表达式在$G$里是相等的，那它们经过同态映射后在$G'$里也必须相等，这就保证了不管$g$怎么用生成元表示，$\overline{f}(g)$的结果都是唯一的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者with-forest