关于具有非空外部的全仿射闭包真凸集的特定凸子集存在性问题

我目前正在研究凸分析（可惜手头没有参考书籍），最近一直在尝试理解并分类凸集的代数结构，之前已经探究过一些相关的问题。

问题描述 #

设$A$是实仿射空间，$K\subsetneq A$是凸集，且其仿射闭包为$A$。假设$K$的外部非空，即$A\setminus K$的内部非空——换句话说，存在点$x\in A$，使得所有包含$x$的一维仿射子空间（即过$x$的直线）都包含一个包含$x$且与$K$不相交的区间。

请问：是否一定存在$A\setminus K$的一个凸子集，它具有非空内部且仿射闭包为$A$？

讨论分析 #

• 在有限维空间的情况下，这个问题很简单：每个真凸集都有拓扑内部和外部。如果$K$有代数内部，我们可以应用某种形式的哈恩-巴拿赫定理，证明存在一个包含整个$K$的“半空间”，那么这个半空间的补集就是满足要求的、张成整个$A$的凸集。如果不要求所求凸子集$L$具有非空内部，那么将$K$关于某个外部点$x$反射得到的集合就是我们要找的。
• 因此我们可以假设$A$是无穷维空间，且$K$的代数内部为空。

有一些例子能给出肯定的答案：比如取多项式空间，令$K$为所有系数非负的多项式构成的集合，那么取$L$为所有首项系数小于$-1$的多项式集合，这个$L$就满足我们的要求。

如果问题的答案不需要再分情况讨论，那可能对于所有满足条件的$K$都存在这样的凸子集。不过会不会存在至少一个反例，使得这样的凸子集不存在呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cnikbesku