关于实值函数向量空间及其奇偶函数子空间维度的疑问

嘿，你的想法完全没错！实值函数构成的向量空间本身是无限维的，而它的奇偶函数子空间也确实都是无限维的，我来给你理清楚为什么：

• 怎么判断一个向量空间是无限维？
  核心思路是：如果能找到一个任意大的线性无关向量组，那这个空间就是无限维的（因为有限维空间的线性无关组大小不会超过它的维度）。

• 偶数函数子空间的无限维性
  你可以构造这样一组偶数函数：{1, x², x⁴, x⁶, ...}，也就是所有非负偶数次的单项式。这组函数是线性无关的——假设存在一组不全为零的实数a₀, a₂, a₄, ..., a₂ₙ使得a₀ + a₂x² + ... + a₂ₙx²ⁿ = 0对所有实数x成立，那这意味着这个多项式恒等于零，所有系数必须都是零，这就证明了它们线性无关。而这组函数有无穷多个，所以偶数函数子空间是无限维的。

• 奇数函数子空间的无限维性
  类似地，奇数函数可以构造{x, x³, x⁵, x⁷, ...}这组奇数次单项式。同样用多项式恒零的性质，能证明它们线性无关且数量无限，所以奇数函数子空间也是无限维的。

另外补充一点：实值函数空间其实可以分解为偶数函数子空间和奇数函数子空间的直和——任何一个实函数都能唯一写成一个偶函数加一个奇函数的形式（比如f(x) = (f(x)+f(-x))/2 + (f(x)-f(-x))/2），两个无限维子空间的直和自然也是无限维的，这也和你已知的结论一致。

放心，你的判断完全正确，继续加油学线性代数吧！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kots