m×n砖块阵列取砖博弈的必胜策略求解及证明请求

先把规则再明确一遍，避免理解偏差：

两名玩家轮流行动，面对一个m×n的砖块阵列；每次选一块砖，移除这块砖**以及它南侧（同一列下方所有砖）、西侧（同一行左侧所有砖）**的所有砖块；谁移除了最后一块砖，谁就输。

下面分两种情况给你梳理清楚必胜策略：

一、当m≠n（非正方形阵列）时，先手稳赢 #

具体策略： #

1. 第一步先把阵列变正方形
   假设原阵列是m×n，比如m > n（m < n时逻辑完全一样，只是行和列反过来），先手总能找到一块砖，通过一次操作把非正方形阵列变成边长为min(m,n)的正方形。比如原阵列是5×3，先手可以选第3行第3列的砖，移除后刚好剩下2×2的正方形区域。
2. 之后跟着后手镜像操作
   变成正方形后，不管后手选哪块砖(i,j)，先手就选正方形里中心对称的那块(k+1-i, k+1-j)（k是正方形的边长）。比如3×3阵列，先手选(1,2)，后手就选(3,2)；先手选(2,1)，后手就选(2,3)。这样每次操作后阵列都保持对称，最后后手一定会被逼着移除最后一块砖，先手就赢了。

为啥这策略管用？ #

非正方形变正方形后，后手的任何操作都会打破对称，而先手的镜像操作又会把对称状态拉回来。后手永远逃不开这个循环，最终只能被迫移除最后一块砖输掉游戏。

二、当m=n（正方形阵列）时，后手稳赢 #

具体策略：全程镜像先手操作 #

不管先手选哪块砖，后手都选它的中心对称点。比如2×2阵列，先手选(1,1)，后手就选(2,2)；先手选(1,2)，后手就选(2,1)。

证明逻辑： #

正方形的中心对称点一定存在且有效，每次先手操作后，后手的对称操作会让阵列始终保持对称状态。先手永远没法打破这个对称，最后只能自己移除最后一块砖，输掉游戏。

举个2×2的小例子：

• 先手选(1,2)，移除(1,2)和它南侧的(2,2)，剩下(1,1)和(2,1)；
• 后手选(2,1)，移除(2,1)，剩下(1,1)；
• 先手只能移除(1,1)，直接输掉。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者puma