分段连续函数参与的积分计算步骤验证及后续求解问询

各位好，我现在碰到这么一个积分计算的问题，想请大家帮忙看看：

我需要计算这个积分，得到关于$x$的显式表达式：
$$\int_{x-1}^{x+1} f(y)e^{{\frac{1}{(x-y)}2-1}} ,dy$$
这里的$f(y)$是个分段连续函数，具体定义是：
$$f(y)=\begin{cases}
1, & y\geq0 \
0, & y<0
\end{cases}$$

我自己先尝试做了变量替换和拆分积分，步骤如下，想先确认这些操作是不是都有效：

• 首先做变量替换$u=x-y$，积分上下限跟着变化，原积分转化成了：
  $$\int_{-1}^{1} f(x-u)e^{\frac{1}{u2-1}} ,du$$
• 接着我把这个积分拆成了两个区间的和：
  $$\int_{-1}^{x} f(x-u)e^{\frac{1}{u2-1}} ,du + \int_{x}^{1} f(x-u)e^{\frac{1}{u2-1}} ,du$$
• 然后我考虑$f$的定义：当$u>x$时，$x-u<0$，所以$f(x-u)=0$，那第二部分积分就等于0了，所以原式简化成：
  $$\int_{-1}^{x} f(x-u)e^{\frac{1}{u2-1}} ,du$$
• 再看这个积分的区间$u\in[-1,x]$，此时$x-u\geq0$，所以$f(x-u)=1$，积分就进一步变成了：
  $$\int_{-1}^{x}e{\frac{1}{u^2-1}} ,du$$

现在想请教大家，我上面这些推导步骤是正确的吗？另外，我知道$\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{1}{u2-1}} ,du=1$，从当前这个积分式子，该怎么继续得到关于$x$的显式函数呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathlover