递归序列恒等式证明求助

嘿，我看你在这个递归序列的恒等式证明上卡壳啦，给你个实用的思路提示，应该能帮你往前推一步！

首先，咱们先抓住关键的转换关系：已知 ( V_n = \sqrt{1+24U_n} )，那反过来就能把 ( U_n ) 用 ( V_n ) 表示出来：
[ U_n = \frac{V_n^2 - 1}{24} ]
同样的，( U_{n+1} ) 也可以写成 ( \frac{V_{n+1}^2 - 1}{24} )。

接下来按照这几步走：

• 把上面两个 ( U_n )、( U_{n+1} ) 的表达式，代入到你已经改写好的 ( U_{n+1} = \frac{1}{16}(1 + 4U_n + V_n) ) 里。
• 为了消掉分母，把等式两边同时乘以 ( 16 \times 24 )，这样就能得到一个关于 ( V_{n+1} ) 和 ( V_n ) 的整式方程。
• 整理这个方程后，你会得到一个关于 ( V_{n+1} ) 的二次方程，解这个方程的时候，别忘了 ( V_n ) 是平方根，所以它的取值是正数，这时候就能舍去不符合要求的负根。
• 最后把剩下的解化简一下，就能得到你要证明的 ( V_{n+1} - 3 = \frac{1}{2}(V_n - 3) ) 啦！

试试看这个方向，应该就能突破当前的瓶颈了～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者haitham