Fréchet导数与偏导数关联推导的正确性验证请求

嘿，各位大佬，我想请大家帮忙验证一下我对Fréchet导数和偏导数关联的推导是否正确，先把前提和我的推导过程放出来：

设 $f = (f_1, \ldots, f_n) :\mathbb R^m \to \mathbb R^n$，$(e_i)$ 和 $(e'_j)$ 分别是 $\mathbb R^m$ 和 $\mathbb R^n$ 的标准基。$\partial f (x)$ 是 $f$ 在点 $x$ 处的Fréchet导数，$\partial f (x)[e_i]$ 是它在 $e_i$ 处的取值；$\partial_i f (x)$ 是 $f$ 在点 $x$ 处关于 $e_i$ 的偏导数。

我的推导过程如下：
$$
\begin{align}
\partial f (x)[e_i] &=\partial_i f (x) \
&= \partial_i \bigg (\sum_j f_je'_j \bigg) (x) \
&= \sum_j \partial_i (f_je'_j ) (x)\
&= \sum_j \partial_i (e'_j f_j) (x).
\end{align}
$$

这里我把 $e_j'$ 看作一个函数：$e_j':\mathbb R \to \mathbb R^n, t \mapsto t e_j'$，它是线性连续的，所以对任意 $r,h \in \mathbb R$，有 $\partial_i e_j' (r)[h]= e_j' (h) = h e'_j$。接下来用链式法则推导：
$$
\begin{align}
\sum_j \partial_i (e'_j f_j) (x) &= \sum_j \partial_i e'_j (f_j (x)) \circ \partial_i f_j (x) \
&= \sum_j \partial_i e'_j (f_j (x))[ \partial_i f_j (x) ]\
&= \sum_j \partial_i f_j (x) e'_j.
\end{align}
$$

麻烦各位帮忙看看这个推导有没有问题，我的理解是不是正确的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akira