一维非齐次波动方程格林函数构造中柯西数据的推导疑问

我最近在看《Mathematics for Physics》第221页关于带源项$q(x,t)$的一维波动方程的格林函数解法：

我们要解的非齐次波动方程是：
$$\left(\frac{1}{c^{2}\frac{\partial}2}{\partial t^{2}-\frac{\partial}2}{\partial x^2}\right)\varphi(x,t)=q(x,t)$$

通过构造格林函数$G(x,t;\xi,\tau)$来求解，格林函数满足：
$$\left(\frac{1}{c^{2}\frac{\partial}2}{\partial t^{2}-\frac{\partial}2}{\partial x^2}\right)G(x,t;\xi,\tau)=\delta(x-\xi)\delta(t-\tau)$$

因为系统里的波都是由源产生的，所以要求格林函数是因果的，也就是当$t<\tau$时$G(x,t;\xi,\tau)=0$。

教材里说可以通过在$\tau-\varepsilon$到$\tau+\varepsilon$这个无穷小时间区间上积分格林函数的方程来得到柯西数据，最终得到：
$$G(x,\tau+\varepsilon;\xi,\tau)=0$$
$$\frac{d}{dt}G(x,\tau+\varepsilon;\xi,\tau)=c^2\delta(x-\xi)$$

但教材没解释这两个柯西数据具体怎么推导出来的，我自己尝试推了一下，想问问我的思路对不对：

关于时间导数的柯西数据推导 #

我先对格林函数的方程在$\tau-\varepsilon$到$\tau+\varepsilon$上积分：
$$\int_{\tau-\varepsilon}^{{\tau+\varepsilon}\frac{1}{c}2}\left(\frac{\partial^2}{\partial t^{2}-\frac{\partial}2}{\partial x^{2}\right)G(x,t;\xi,\tau)dt=\int_{\tau-\varepsilon}}{\tau+\varepsilon}\delta(x-\xi)\delta(t-\tau)dt$$

整理左边的式子，把导数拆分后得到：
$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}G(x,t;\xi,\tau)\bigg\rvert_{\tau-\varepsilon}^{{\tau+\varepsilon}+\frac{d}2}{dx^{2}\int_{\tau-\varepsilon}}{\tau+\varepsilon}G(x,t;\xi,\tau)dt=\delta(x-\xi)$$

我的理解是，当$\varepsilon\rightarrow0$时，左边第二项因为$G$是连续的，积分区间趋于0，所以这一项为0；而第一项在$t=\tau-\varepsilon$处，根据因果性$G$的导数也是0（因为$t<\tau$时$G=0$），所以最终得到：
$$\frac{1}{c^2}\left[\frac{\partial}{\partial t}G(x,\tau+\varepsilon;\xi,\tau)-0\right]=\delta(x-\xi)$$
也就是$\frac{d}{dt}G(x,\tau+\varepsilon;\xi,\tau)=c^2\delta(x-\xi)$。这个论证是正确的吗？

关于$G(x,\tau+\varepsilon;\xi,\tau)=0$的推导 #

对于第一个柯西数据，我想是不是可以做两次积分？比如先对时间积分一次，再积分一次：
$$\int_{\tau-\varepsilon}^{{\tau+\varepsilon}dt\int}t \frac{1}{c^{2}\left(\frac{\partial}2}{\partial t^{2}-\frac{\partial}2}{\partial x^{2}\right)G(x,t';\xi,\tau)dt'=\int_{\tau-\varepsilon}}{\tau+\varepsilon}dt\int^t\delta(x-\xi)\delta(t'-\tau)dt'$$

这个思路是不是对的？有没有更直接的推导方式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fellow InstituteOfMathophile