2-赋范空间中严格凸是否蕴含一致凸？

先给大家梳理下我们要用到的两个核心定义，这样能更清楚地理解问题本质：

1. 一致凸的2-赋范空间 #

一个2-赋范空间 $(L, \Vert \cdot, \cdot \Vert)$ 被称为一致凸的，简单来说就是：不管你选哪个满足条件的点，只要两点在$z$方向的“距离”不小于$\epsilon$，它们的中点在$z$方向的2-范数就会被一个统一的下界“压”到1以下。

严谨的定义是：对于任意的 $\epsilon > 0$，都存在一个对应的 $\delta(\epsilon) > 0$，只要满足：

• $\Vert x,z \Vert = \Vert y,z \Vert = 1$
• $\Vert x-y, z \Vert \ge \epsilon$
• $x \neq y$ 且 $z$ 不在$x,y$张成的子空间$V(x,y)$里

就一定有
$$\Big \Vert \frac{x+y}{2}, z \Big \Vert \le (1-\delta(\epsilon)).$$

2. 严格凸的2-赋范空间 #

而严格凸的2-赋范空间 $(X, \Vert \cdot, \cdot \Vert)$，要求就宽松一些：只要是满足

• $\Vert x, z \Vert = \Vert y,z \Vert = 1$
• $x \neq y$
• $z \notin V(x,y)$

的三个点$x,y,z$，它们的中点在$z$方向的2-范数必须严格小于1（也就是小于$\frac{1}{2}(\Vert x,z \Vert + \Vert y,z \Vert )$，因为这里两个范数都是1，所以右边就是1）。用公式写就是：
$$\Vert \frac{x+y}{2}, z \Vert < \frac{1}{2}(\Vert x,z \Vert + \Vert y,z \Vert ) <1.$$

已知的结论：一致凸肯定能推出严格凸 #

这个其实很好理解，要是空间是一致凸的，那根据定义，中点的2-范数最多是$1-\delta(\epsilon)$，这显然是严格小于1的，刚好满足严格凸的要求。具体推导就是：
对于满足条件的$x,y,z$，我们有
$$\Big \Vert \frac{x+y}{2}, z \Big \Vert \le (1-\delta(\epsilon)) < 1,$$
而$\frac{1}{2}(\Vert x,z \Vert + \Vert y,z \Vert ) = \frac{1+1}{2}=1$，所以自然满足严格凸的不等式。

核心问题：严格凸能反过来推出一致凸吗？ #

答案是不行。

这两者的本质区别在于“一致性”：

• 一致凸要求的是“全局统一”的控制：给定$\epsilon$后，所有符合条件的点对，其中点的范数都要被同一个$\delta(\epsilon)$限制在$1-\delta(\epsilon)$以下；
• 但严格凸只是“点态”的要求：每一组点对的中点范数确实小于1，但这个“小于”的程度可以随着点对的不同而越来越接近1，没有一个统一的下限。

举个直观的例子：我们可以构造一个2-赋范空间，里面有一列点对$(x_n,y_n,z_n)$，每一组都满足$\Vert x_n,z_n \Vert = \Vert y_n,z_n \Vert=1$，$\Vert x_n-y_n,z_n \Vert$固定为某个$\epsilon$，但$\Vert \frac{x_n+y_n}{2},z_n \Vert$却越来越接近1。这时候这个空间是严格凸的（因为每个中点的范数都严格小于1），但它不是一致凸的——因为找不到一个统一的$\delta(\epsilon)$，让所有中点的范数都不超过$1-\delta(\epsilon)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Niccolo