关于自由群$F_2$是否为任意$n\geq2$的自由群$F_n$子群及相关论证正确性的问询

嘿，你的这个思路方向完全正确，咱们可以把论证打磨得更严谨些，让它更站得住脚～

首先结论先行：$F_2$确实是任意$n\geq2$的自由群$F_n$的子群，你提到的“$F_n$包含仅由$a,b$生成的字，且这些字在乘法下封闭”这个点，已经抓住了核心逻辑。

不过要让论证更完整，咱们可以补充这些细节：

• 自由群$F_n$（生成元为${a,b,c,d,\dots}$）的本质是所有由这些生成元及其逆元组成的约化字（即没有相邻的$x$和$x^{-1}$的字）构成的集合，群乘法是字的拼接后再做约化处理。
• 现在聚焦$F_n$里所有仅由$a,b$及其逆元组成的约化字，把它们构成的子集记作$H$：
  • $H$包含单位元（空字），因为空字可以看作是仅由$a,b$生成的特殊情况（不包含任何生成元）；
  • 对任意$h_1,h_2\in H$，它们的乘积$h_1h_2$拼接后再约化，结果依然是仅由$a,b$及其逆元组成的约化字——毕竟拼接和约化过程不会凭空引入其他生成元，所以$H$对群乘法封闭；
  • 对任意$h\in H$，它的逆元就是把每个生成元换成其逆元后反转顺序，显然也只由$a,b$及其逆元组成，所以$H$对逆元运算也封闭。

这就满足了子群的判定条件，$H$是$F_n$的子群。而$H$本身就是自由群$F_2$，因为它符合自由群的泛性质：任何从${a,b}$到任意群$G$的映射，都能唯一延拓为从$H$到$G$的群同态。

总的来说，你的论证核心是对的，只要把约化字、子群判定的细节补上，整个证明就非常严谨啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者El Ruñó