变分法泛函求导中的链式法则应用疑问
嘿，我来帮你把这个问题掰明白！其实这背后就是多元函数的链式法则在起作用，之所以会出现两项，是因为你要对其求导的函数$f$依赖于两个随$\alpha$变化的变量。
咱们一步步拆解来看：
- 首先，把$f$看成一个三元函数：$f(u, v, x)$，这里的三个自变量分别是：
- $u = y(x) + \alpha\eta(x)$（对应原表达式里的$y(x)+\alpha\eta(x)$）
- $v = y'(x) + \alpha\eta'(x)$（对应原表达式里的$y'(x)+\alpha\eta'(x)$）
- $x$本身和$\alpha$无关，是独立变量
现在我们要计算$\frac{\partial}{\partial\alpha}f(u, v, x)$，根据多元函数的链式法则，我们需要对每个依赖于$\alpha$的自变量分别求导，再乘以$f$对该自变量的偏导数，最后把所有项加起来：
- 对$u$关于$\alpha$求偏导：$\frac{\partial u}{\partial\alpha} = \eta(x)$，对应的项就是$\frac{\partial u}{\partial\alpha} \cdot \frac{\partial f}{\partial u} = \eta(x)\frac{\partial f}{\partial y}$（因为$u$就是原函数里的$y$，所以$\frac{\partial f}{\partial u}$就是$\frac{\partial f}{\partial y}$）
- 对$v$关于$\alpha$求偏导：$\frac{\partial v}{\partial\alpha} = \eta'(x)$，对应的项就是$\frac{\partial v}{\partial\alpha} \cdot \frac{\partial f}{\partial v} = \eta'(x)\frac{\partial f}{\partial y'}$（同理，$v$对应原函数里的$y'$，所以$\frac{\partial f}{\partial v}$就是$\frac{\partial f}{\partial y'}$）
- 至于$x$，因为它和$\alpha$没有关系，$\frac{\partial x}{\partial\alpha}=0$，所以这一项对求导结果没有贡献，直接忽略。
把前两项加起来，就得到了你看到的结果：
$$\frac{\partial}{\partial\alpha}f(y(x)+\alpha\eta(x), y'(x)+\alpha\eta'(x), x)=\eta\frac{\partial f}{\partial y}+\eta'\frac{\partial f}{\partial y'}$$
要是还是有点抽象，咱们举个具体例子：假设$f(y, y', x) = y^2 + (y')^2 + x$，那求$\frac{\partial}{\partial\alpha}f(y+\alpha\eta, y'+\alpha\eta', x)$的话，展开就是求$\frac{\partial}{\partial\alpha}[(y+\alpha\eta)^2 + (y'+\alpha\eta')^2 + x]$，求导后得到$2(y+\alpha\eta)\eta + 2(y'+\alpha\eta')\eta'$。在变分法里，我们通常是在$\alpha=0$处计算这个导数（这就是泛函的变分定义），代入$\alpha=0$后就是$2y\eta + 2y'\eta'$，正好对应$\eta\frac{\partial f}{\partial y} + \eta'\frac{\partial f}{\partial y'}$——因为$\frac{\partial f}{\partial y}=2y$，$\frac{\partial f}{\partial y'}=2y'$，是不是一下子就直观了？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者The Rizzler
