外积的定义是否依赖二次型？能否通过无二次型定义的外积诱导点积或二次型？
这个问题问到点子上了，正好能帮你厘清外代数和克利福德代数的核心差异——我分两部分给你解释：
一、外积的定义完全不依赖二次型
首先给你一个明确的结论：外积的定义不需要任何二次型结构。
外代数的核心运算就是外积，它的定义只依托向量空间本身的线性结构（加法、数乘），是一个满足以下两个性质的交替双线性映射：
- 双线性：对任意向量$a,b,c$和标量$\lambda$，有$(\lambda a + b) \wedge c = \lambda(a \wedge c) + b \wedge c$，以及$a \wedge (\lambda b + c) = \lambda(a \wedge b) + a \wedge c$；
- 交替性：对任意向量$a$，有$a \wedge a = 0$，进而可以推出$a \wedge b = -b \wedge a$。
你提到的2D行列式例子非常典型——行列式本质就是二维空间中外积对应的交替双线性形式，它完全不需要内积或二次型来定义，只靠向量的线性运算就能计算，甚至可以用基无关的方式表达。
对比一下克利福德代数的几何积：几何积$a \cdot b + a \wedge b$里的点积确实需要二次型来诱导，但外积是完全独立于这些额外度量结构的。
二、无二次型的外积能否诱导点积/二次型？
这个问题要分情况看，核心在于：单纯的外积（作为交替双线性映射）本身没有“度量”属性——它只能告诉我们向量是否线性相关（$a \wedge b = 0$当且仅当$a,b$线性相关），但没有自然的“长度”或“角度大小”的概念。
你给出的公式$|a \wedge b|=|a||b|\sin \theta$，其实已经隐含了两个额外假设：
- 我们给外积的结果（比如2-向量）赋予了一个范数（也就是$|a \wedge b|$这个“大小”的定义）；
- 我们默认了向量本身有长度$|a|$、$|b|$，以及它们之间的夹角$\theta$。
如果有了这些假设，再添加一些额外结构，是可以诱导出点积的：
- 首先需要非退化的体积形式：可以理解为给外积的“大小”一个固定的度量，比如在n维空间中，指定一组基下的n-向量体积为1；
- 其次需要定向：用来确定角度的正负性；
- 最后需要归一化条件：比如指定某个向量的长度为1——否则所有长度缩放k倍，你的公式依然成立，无法唯一确定点积。
举个2D的例子：假设我们有定向，并且指定标准基${e_1,e_2}$下的外积$e_1 \wedge e_2$的“体积”为1（即$|e_1 \wedge e_2|=1$）。对于任意向量$a=a_1e_1+a_2e_2$，$b=b_1e_1+b_2e_2$，$|a \wedge b|=|a_1b_2 - a_2b_1|=|a||b|\sin\theta$。如果我们定义$|a|2=a_12+a_2^2$（这就是一个二次型），那就能推导出点积$a \cdot b = |a||b|\cos\theta = a_1b_1+a_2b_2$。
但如果没有这些额外结构，单纯只知道外积是交替双线性映射，我们无法唯一确定二次型：比如你可以任意缩放体积的度量，或者选择不同的归一化方式，得到不同的点积结果。
总结
- 外积的定义完全独立于二次型，是向量空间线性结构的自然延伸；
- 要通过外积诱导点积或二次型，必须添加定向、非退化体积形式和归一化条件——单纯的外积本身不足以唯一确定二次型，但结合这些额外结构后，就能建立起外积和点积的对应关系。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者SorenJ
