三角范畴间正合函子与移位函子逆的自然同构证明问询

问题描述 #

假设我们有两个三角范畴 $\mathcal{D},\mathcal{D}'$，它们的移位函子分别是 $T_{\mathcal{D}},T_{\mathcal{D}'}$。根据正合函子的定义，正合函子 $F \colon \mathcal{D}\to\mathcal{D}'$ 满足存在自然同构 $F\circ T_{\mathcal{D}}\cong T_{\mathcal{D}'}\circ F$。现在我想证明：存在自然同构 $F\circ T^{-1}{\mathcal{D}}\cong T^{-1}{\mathcal{D}'}\circ F$？

我的尝试 #

我给出的思路如下：
设 $\eta \colon F\circ T_{\mathcal{D}}\xrightarrow{\sim} T_{\mathcal{D}'}\circ F$ 是这个自然同构。那么对于任意对象 $A$，我定义态射：
$$T_{\mathcal{D}'}^{-1}\circ \eta_A\circ T_{\mathcal{D}}^{-1} \colon T_{\mathcal{D}'}^{-1}(F(A))\to F(T_{\mathcal{D}}^{-1}(A))$$
我认为这一族态射就是我们要找的自然同构。

关于自然性：对于任意态射 $f:A\to B$，对应的交换图是：
$\require{AMScd}$
\begin{CD}
T_{\mathcal{D}'}^{-1}(F(A)) @>{\enspace T_{\mathcal{D}' \enspace}^{-1}(F(f))}>> T_{\mathcal{D}'}^{-1}(F(B))\
@VVV @VVV\
F(T_{\mathcal{D}}^{-1}(A)) @>{\enspace F(T_{\mathcal{D}}^{-1}(f)) \enspace}>> F(T_{\mathcal{D}}^{-1}(B))
\end{CD}
这个图的交换性可以通过将 $\eta$ 的自然性应用到对应对象上直接得到。

另外，这个自然变换是同构的原因是：每个 $\eta_A$ 都是同构，而移位函子的逆 $T_{\mathcal{D}'}^{-1}$ 和 $T_{\mathcal{D}}^{-1}$ 都是等价函子（因为移位函子本身是自等价），所以它们作用在同构上得到的仍然是同构，因此 $T_{\mathcal{D}'}^{-1}\circ \eta_A\circ T_{\mathcal{D}}^{-1}$ 是同构。

希望能得到大家的反馈！

反馈与补充 #

你的思路完全是正确的，这里再补充几个细节让整个证明更严谨：

• 移位函子的逆的性质：首先要明确，三角范畴中的移位函子 $T$ 是自等价函子，所以它的逆函子 $T^{-1}$ 不仅存在，而且本身也是一个满足三角范畴公理的移位函子，并且 $T\circ T^{-1} \cong \text{id}{\mathcal{D}}$，$T^{-1}\circ T \cong \text{id}{\mathcal{D}}$ 都是自然同构。
• 自然性的严谨推导：为了更清楚地验证交换图，我们可以利用 $\eta$ 的自然性：对于态射 $T_{\mathcal{D}}^{-1}(f): T_{\mathcal{D}}^{-1}(A)\to T_{\mathcal{D}}^{-1}(B)$，考虑 $\eta$ 在对象 $T_{\mathcal{D}}^{-1}(A)$ 和 $T_{\mathcal{D}}^{-1}(B)$ 上的自然性，即：
  $$\eta_{T_{\mathcal{D}}^{-1}(B)} \circ F(T_{\mathcal{D}}(T_{\mathcal{D}}^{-1}(f))) = T_{\mathcal{D}'}(F(T_{\mathcal{D}}^{-1}(f))) \circ \eta_{T_{\mathcal{D}}^{-1}(A)}$$
  然后两边同时应用 $T_{\mathcal{D}'}^{-1}$，再结合 $T_{\mathcal{D}}\circ T_{\mathcal{D}}^{-1}(f) = f$（自然同构意义下），就能推导出你给出的交换图是交换的。
• 同构的验证：因为 $T_{\mathcal{D}}^{-1}$ 和 $T_{\mathcal{D}'}^{-1}$ 都是等价函子，等价函子保持同构（即如果 $\phi$ 是同构，那么 $T^{-1}(\phi)$ 也是同构），而 $\eta_A$ 是同构，所以复合后的态射自然也是同构。

总的来说，你的证明框架是完整且正确的，上面的细节补充只是让逻辑链条更清晰而已。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user34977