二元分拆函数同余性质的证明求助

我现在在研究二元分拆函数的同余性质，遇到了一些卡壳的地方，想请大家帮忙梳理思路。

先明确相关定义：
对于每个正整数$n$，记$b(n)$为$n$的二元分拆数——也就是将$n$拆分为2的幂次之和的分拆方式数，要求幂次是递减的。比如$b(5)=4$，对应的分拆是：
$$
\begin{align*}
&2²⁺²0, \
&2¹⁺²1+2^0, \
&2¹⁺²0+2⁰⁺²0, \
&2⁰⁺²0+2⁰⁺²0.
\end{align*}
$$
为了方便计算，我们规定$b(0)=1$。

我需要证明以下两个同余式：

1. 对任意正整数$k$和正整数$n$，有
   $$b(2^{2k+2}n)-b(2{2k}n) \equiv 0 \pmod{2^{3k+2}}$$
2. 对任意正整数$k$和正整数$n$，有
   $$b(2^{2k+1}n)-b(2{2k-1}n) \equiv 0 \pmod{2^{3k}}$$
   我打算先证明第一个同余式，第二个应该可以类似推导。

已知$b(n)$满足以下几个关系式：

• $b(2n+1)=b(2n)$；
• $b(2n)=b(2n-2)+b(n)$；
• $b(2^{mn)=\sum_{j=0}}{n} C_m(j)b(n-j)$，其中$C_{m+1}(j)=\sum_{i=0}^{2j}C_m(i)$，$C_1(j)=1$对所有$j \ge 0$成立，且$C_m(0)=1$对所有$m \ge 1$成立。

利用第三个关系式，我把第一个要证的同余式转化为：
$$\sum_{j=0}^{n} (C_{2k+2}(j)-C_{2k}(j))b(n-j) \equiv 0 \pmod {2^{3k+2}}. \tag{1}$$

我已经验证了基例：当$k=1$且$n=1$时，
$$
\begin{align*}
\sum_{j=0}^{1} (C_{4}(j)-C_{2}(j))b(1-j) &= (C_4(0)-C_2(0))b(1)+(C_4(1)-C_2(1))b(0) \
&= (1-1)\times1 + (35-3)\times1 \
&= 32 \equiv 0 \pmod {2^{3(1)+2}}.
\end{align*}
$$
这个基例是成立的。

接下来进入归纳步骤：我假设同余式(1)成立，现在想要证明：

• 对$k+1$的情况，即
  $$\sum_{j=0}^{n} (C_{2k+4}(j)-C_{2k+2}(j))b(n-j) \equiv 0 \pmod {2^{3k+5}}. \tag{2}$$
• 对$n+1$的情况，即
  $$\sum_{j=0}^{n+1} (C_{2k+2}(j)-C_{2k}(j))b(n+1-j) \equiv 0 \pmod {2^{3k+2}}. \tag{3}$$

但到这里我就卡住了，不知道该怎么继续推进。

想请教大家：有没有办法完成这个归纳步骤？或者有没有更简单易懂的、不用双重归纳的证明方法？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1089451