关于满足特定子群阶条件的p²ⁿ阶交换群同构性的证明疑问

问题描述 #

设$G$是一个$p^{2n}$阶交换群，假设对于每个$1 \le r \le n$，子群$G_r = {g \in G : g^{pr} = e}$的阶为$p^{2r}$。证明$G \cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$。

这显然是“$p^{2$阶群要么是循环群要么是两个$p$阶循环群的直积”这一结论的推广。我正在做一个将$p}n$替换为任意正整数$M$的练习，打算先从$p$-群的情况入手（其余部分可以用中国剩余定理处理）。

我的思路进展 #

我们知道交换$p$-群可以分解为：
$$G \cong \mathbb{Z}/p^{r_1}\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/p^{r_s}\mathbb{Z}$$
其中$0 < r_1 \le \dots \le r_s$且$r_1 + \dots + r_s = 2n$。

另外，$G_n = G$，这意味着$G$中每个元素的阶都整除$p^{n$，所以对所有$i$都有$p}{r_i} \mid p^n$，即$0 < r_1 \le \dots \le r_s \le n$。

如果能证明$r_1 \ge n$或者甚至$r_{s-1} \ge n$，那就能完成证明。我原本想假设$r_1 < n$来导出矛盾，但还没找到切入点。我不能只利用$G_n = G$这个条件，也许需要分析$G_{r_1}$？

求助 #

我该怎么推进下去？或者我的思路本身有没有需要修正的问题？

提前感谢各位的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Degenerate D